On montre à l'aide de méthodes de crible, de méthodes issues de la théorie des formes automorphes et de géométrie algébrique ainsi qu'à l'aide de la loi de Sato-Tate verticale que le signe des sommes de Kloosterman Kl(1, 1; n) change une infinité de fois pour n parcourant les entiers sans facteur carré ayant au plus 18 facteurs premiers. Ceci améliore un résultat précédent de Fouvry et Michel qui avaient obtenu 23 à la place de 18. Abstract (Asymptotic sieve and Kloosterman sums). -We prove

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... g sieve methods, methods coming from automorphic form theory and algebraic geometry, and Sato-Tate vertical law that the sign of Kloosterman sums Kl(1, 1; n) changes infinitely often as n runs through the square-free integers with at most 18 prime factors. This improves on a previous result of Fouvry and Michel, who had obtained 23 instead of 18. Texte reçu le 4 juillet 2006, révisé le 30 juin 2008, accepté le 12 septembre 2008 Jimena Sivak-Fischler, Équipe d'Arithmétique et de Géométrie Algébrique, Bâtiment 425, Pour démontrer ce résultat, on utilise le crible asymptotique (introduit par Fouvry et Michel dans [2]), des résultats issus de la théorie des formes automorphes et de géométrie algébrique, comme dans [2] , mais on introduit aussi la loi de Sato-Tate verticale dans la preuve, au lieu de majorer trivialement Kl * (1, 1; n). On désigne par H(θ) pour 0 < θ ≤ 1 la conjecture (voir [2]) Conjecture 1.5 (H(θ)). -Pour toute fonction g ∈ C ∞ (R, R) à support inclus dans [1, 2], pour tout > 0, tout Il s'agit en fait d'un théorème pour θ ≤ 1 2 (cf. [4], Proposition 2.4) issu de la théorie des formes automorphes, que l'on utilise dans la preuve des théorèmes 1.3 et 1.4. Sous H(1), Fouvry et Michel ont démontré (voir [2]) qu'on peut remplacer 23 par 3 dans le théorème 1.3. Il semble cependant que les méthodes introduites dans le présent texte ne suffisent pas à améliorer ce résultat. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 4 J. SIVAK-FISCHLER Un résultat légèrement différent du théorème 1.4 a été démontré par l'auteur [8] : Theorème 1.6. -Il existe X 0 > 0 et c 0 > 0 tels que pour X ≥ X 0 et pour z = X