ASYMPTOTIC SOLUTION OF A SINGULAR-PERTURBED PROBLEM OF OPTIMAL MANAGEMENT WITH MINIMUM ENERGY
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С МИНИМАЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ

Z.K. Imanaliev, B.Y. Ashirbaev
2020 International Journal of Applied and Fundamental Research (Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований)  
В данной работе на основе методов разделения движений и проблемы моментов предложен алгоритм построения равномерных нулевых асимптотических приближений к оптимальному управлению, приводящему к нахождению приближенного оптимального решения линейной сингулярно-возмущенной задачи оптимального управления с минимальной энергией. Эквивалентная система, полученная при полном разделении переменных состояний линейной стационарной сингулярно-возмущенной управляемой системы, обладает всеми свойствами
more » ... еми свойствами исходной системы. Она состоит из двух подсистем низкого порядка, решения которых находится независимо, причем они связаны только управляющей функцией. Полученная оптимальная траектория задачи удовлетворяет всем граничным условиям и состоит из трех составляющих, первое из которых формирует магистраль, остальные осуществляют переходы от начального состояния на магистраль и с магистрали на конечное состояние. Термин «магистраль» употребляемый в математической экономике может служит синонимом нулевого члена регулярного ряда для быстрой переменной составляющей. Поправка к первому приближению не представляет трудности, то есть все изложенные процедуры для рассматриваемой системы аналогично повторяются для высших приближений. Предлагаемый подход сочетает в себе приемы асимптотических и приближенных методов анализа. Совместное использование методов разделения движений и проблемы моментов позволяет обходить трудности, связанные при применении Принципа максимума с недостаточными краевыми условиями. В работе рассмотрен численный пример подтверждающий теоретические выводы. Ключевые слова: сингулярно-возмущенные системы, быстрые и медленные переменные, асимптотические приближения, оптимальная траектория, оптимальное управление с минимальноей энергией, магистраль In this paper, based on the methods of separation of motions and the problem of moments, we propose an algorithm for constructing uniform zero asymptotic approximations to optimal control, which leads to finding an approximate optimal solution to a linear singularly perturbed optimal control problem with minimum energy. An equivalent system obtained by completely separating the variable states of a linear stationary singularly perturbed controlled system has all the properties of the original system. It consists of two subsystems of low order, the solutions of which are found independently, and they are connected only by the control function. The obtained optimal trajectory of the problem satisfies all boundary conditions and consists of three components, the first of which forms the trunk, the rest make transitions from the initial state to the highway and from the highway to the final state. The term «highway» used in mathematical economics can serve as a synonym for the zero term of a regular series for a fast variable component. The correction to the first approximation is not difficult, that is, all the above procedures for the system under consideration are similarly repeated for higher approximations. The proposed approach combines the techniques of asymptotic and approximate methods of analysis. The joint use of methods of separation of movements and the problem of moments allows you to bypass the difficulties associated with the application of the Maximum Principle with insufficient boundary conditions. The paper considers a numerical example confirming the theoretical conclusions.
doi:10.17513/mjpfi.13041 fatcat:zn5citvdvva7pa6hzcc2suyoh4