Über diesen Gegenstand sind besonders zu nennen die Arbeiten von Simon7,8,9) und Liebmann 10, n). Alle diese Konstruktionen der nicht-euklidischen Geometrie gründen sich ent¬ weder au! elementar-geometrische Betrachtungen, oder sind der Ausdruck trigonometri¬ scher Formeln der nicht-euklidischen Geometrie. M. Grossmann 12) zeigte, dass die fundamentalen Konstruktionen der nicht-eukli¬ dischen Geometrie anschaulich und nach einheitlicher Methode durchführbar sind, wenn man sich auf den

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... der Cayley'schen Massgeometrie stellt. Durch Angabe des absoluten Kegelschnittes der Ebene sind die Massverhältnisse für alle Konstruktions¬ aufgaben genügend bestimmt, und es gelingt, alle Fundamental-Äufgaben (der hyperbo¬ lischen und elliptischen Geometrie) sehr einfach zu lösen. Beispielsweise ist dann für die Konstruktion des Dreieckes aus 3 Winkeln nur eine Methode anzugeben, gleichgültig ob unter den gegebenen Winkeln Null und Überwinkel vorkommen oder nicht. Die Unterscheidung wie sie Liebmann10) machen musste, fällt also dahin. Bei dieser Arbeit12) war Voraussetzung, dass für den Fall der hyperbolischen Geometrie ein reeller, im Endlichen liegender Kegelschnitt als der absolute Kegelschnitt der Ebene betrachtet werde, während für den Fall der elliptischen Geometrie der imaginäre absolute Kegelschnitt durch den konjugierten reellen vertreten ist. Zu den Konstruktionen wurde die Bemerkung gemacht,s), dass die entstehenden Figuren nur Bilder der wirklich auszuführenden seien, und dass die Einfachheit der Lösungen eingebüsst werde, wenn man von einer solchen "Übersetzung" wieder zum "Urtext" übergehe. ') Simon: Zwei Sätze zur nicht-eutklidischen Geometrie. Math. Annalen, Lpz. Bd. 48. S. 607. Der eine Satz gibt die Konstruktion des rechtwinkligen Dreieis aus gegebenen spitzen Winkeln, woraus dann audi die Konstruktion eines Dreieckes aus den 3 Winkeln folgt. 8) Simon: Jahresberichte d. Math. Vereinigung Bd. 3. (1880-82). In dieser Arbeit wird die Konstruktion der Tangenten an einen Kreis behandelt. 9) Simon: Über Dreieckskonstruktionen in der nicht-euklidischen Geometrie. Math. Annalen Lpz. Bd. 61, S. 587 -588. Diese Arbeit ist eine nähere Begründung seiner früheren Abhandlung9) und die Anwendung jener Resultate auf Dreieckskonstruktionen. 10) Liebmann: Die Konstruktion des geradlinigen Dreieckes der nicht-euklidischen Geometrie aus den 3 Winkeln. Lpz. Ber. Ges. Wiss. 53, S. 477-491. Bis 1901 war die Aufgabe ein Dreieck aus den 3 Winkeln zu konstruieren noch nie gelöst worden. Liebmann löst diese Aufgabe mit Hilfe einer Transformation der hyperbolischen Ebene, und behandelt alle Spezialfälle (Überwinkel, Nullwinkel).