Agradecimentos Primeiramente aos meus pais, por todo o apoio e incentivo, principalmente nos momentos de maior dificuldade. Não fosse por eles, certamente eu não teria chegado até aqui. Ao meu orientador, Prof. Daniel Levcovitz, pela sua paciência, amizade, seus ensinamentos e principalmente pela confiança depositada. Agradeço também a todos aqueles que me apoiaram durante meu período de mestrado. Porém, faço um agradecimento especial a Renan Mezabarba, pelas discussões matemáticas (ou não) na

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... iblioteca do ICMC, onde frequentemente incomodávamos os funcionários pela altura dos risos. Também faço agradecimentos especiais a Renan Metzker e Ivan Bolorino, amigos dos tempos de graduação na UNESP, não só pelo apoio, mas também pelas horas de descontração (compartilhadas por meio virtual). Por fim, agradeço a CAPES pelo apoio financeiro durante um ano. iv Resumo A dimensão de Gelfand-Kirillov mede a taxa de crescimento assintótico deálgebras. Como fornece informações importantes sobre a sua estrutura, este invariante se tornou uma das ferramentas padrão no estudo deálgebras de dimensão infinita. Neste trabalho apresentamos as propriedades básicas da dimensão de Gelfand-Kirillov deálgebras e de módulos, e também mostramos o cálculo da dimensão de Gelfand-Kirillov de algumasálgebras e módulos, sendo o exemplo mais importante o cálculo da dimensão de Gelfand-Kirillov dá algebra de Weyl A n . Palavras-chave:Álgebra não comutativa. Crescimento deálgebras. Dimensão de Gelfand-Kirillov. v Abstract The Gelfand-Kirillov dimension measures the asymptotic rate of growth of algebras. Since it provides important structural information, this invariant has become one of the standard tools in the study of infinite dimensional algebras. In this work we present the basic properties of the Gelfand-Kirillov dimension of algebras and modules, and we also show the calculation of the Gelfand-Kirillov dimension of some algebras and modules, being the most important example the calculation of the Gelfand-Kirillov dimension of the Weyl algebra A n . CONTEÚDO 2 Bibliografia 50 4 Então, no Capítulo 3, estendemos a dimensão de Gelfand-Kirillov para módulos. Além disso, se Vé um subespaço de dimensão finita de uma K-álgebra A, então o conjunto formado pelos subespaços {V n } ∞ n=0 fornece uma filtração natural de A, e o anel graduado associado gr(A) ≡ ⊕ ∞ n=0 V n /V n−1 pode ser formado. Para qualquer módulo M Aé possível construir o módulo graduado associado gr(M ) gr(A) . As relações entre M A e gr(M ) gr(A) também são estudadas no Capítulo 3. Por fim, no Capítulo 4 nos dedicamos ao estudo deálgebras quase comutatuvas, ou seja, algebras A tais que gr(A)é comutativo. Também damos uma segunda demonstração do fato de que a dimensão de Gelfand-Kirillov da n-ésimaálgebra de Weylé 2n. Por fim, provamos a desigualdade de Bernstein, a qual fornece um limitante inferior para a dimensão de Gelfand-Kirillov de um módulo sobre A. CAPÍTULO 1 PRELIMINARES 1.1 Crescimento deÁlgebras Neste primeiro capítulo apresentaremos algumas definições e resultados básicos que serão utilizados no decorrer do presente texto. Entretanto, omitiremos as demonstrações. Ao leitor interessado, seguem as referências. Seja K um corpo. Uma K-álgebra finitamente gerada A (a qual vamos assumir queé associativa e tem elemento unitário 1) com conjunto gerador {a 1 , · · · , a m } possui um subespaço gerador V de dimensão finita (por exemplo, o K-espaço vetorial gerado por a 1 , · · · , a m ) no sentido de que todo elemento de Aé uma combinação K-linear de monômios formados pelos elementos a 1 , · · · , a m . Portanto, se V 0 = K, e para n ≥ 1, V n denotar o subespaço gerado por todos os monômios em a 1 , · · · , a m de comprimento n, então Se A possui dimensão finita, então A = A n para algum n, e a função d V = dim K (A n ) se torna estacionária. Em geral, esta funçãoé monótona crescente, e suas propriedades podem ser usadas para distinguir entre as várias K-álgebras. Entretanto, a função d Vé muito específica, pois depende da escolha do subespaço gerador V . A dependência pode ser