Abstrak: Gerak Brown fraksional adalah proses stokastik yang merupakan pengembangan dari gerak Brown standar. Gerak Brown fraksional merupakan bentuk umum dari gerak Brown dengan menambahkan satu parameter Hurst (H). Perumuman ini mengakibatkan beberapa sifat yang ada di dalam gerak Brown sudah tidak berlaku lagi. Pada makalah ini akan dibahas representasi integral stokastik untuk gerak Brown fraksional. Berdasarkan Mandelbrot dan Van Ness (1968) gerak Brown dapat didefinisikan dalam bentuk

more »

... gral stokastik. Selain memaparkan tentang definisi integral stokastik berdasarkan Mandelbrot dan Van Ness, akan ditujukkan juga memenuhi sifat kovariansi dari proses gerak Brown fraksional. Kata kunci: Gerak Brown Fraksional, Integral Stokastik PENDAHULUAN Pada tahun 1940, gerak Brown fraksional diperkenalkan oleh Kolmogorov untuk yang pertama kali dalam kerangka ruang Hilbert, yang diberi nama Wiener Helix. Selanjutnya pada tahun 1968, Mandelbrot dan Van Ness memperkenalkan proses tersebut dengan nama gerak Brown fraksional (Fractional Brownian Motion atau FBM). Dalam makalah Mandelbrot dan Van Ness (1968) telah dibuktikan repersentasi integral stokastik pada proses gerak Brown standar. Gerak Brown fraksional merupakan teori pengembangan dari teori Brownian Motion atau lebih dikenal Gerak Brown. Perumuman dari gerak Brown ini mempunyai banyak sifat menarik yang tidak dimiliki oleh gerak Brown sehingga menjadi model yang lebih realistis untuk banyak aplikasi di berbagai cabang ilmu misalnya matematika keuangan, fisika polimer, hidrologi, jaringan telekomunikasi dan sebagainya. Beberapa sifat menariknya antara lain self-similarity, stationary increment, long-range dependent, kekontinuan Hölder dari lintasan sampel, dan sifat non-Markov. Pada matamatika keuangan, model gerak Brown geometrik mengasumsikan bahwa return saham berdistribusi normal, stasioner dan saling bebas. Pada kenyataannya harga saham cukup banyak yang tidak saling bebas dalam rentang yang pendek (short memory) atau dalam rentang yang panjang (long memory). Model yang bisa mengatasi hal itu adalah gerak brown fraksional. Gerak brown fraksional pertama kali dikenalkan oleh Mandelbrot dan Van Ness (1968).