Espectro de geradores de dinâmica em EDPs estocásticas [thesis]

Samanta Santos Avelino Silva
Agradecimentos Agradeço, inicialmente, ao meu orientador, Prof. Paulo Afonso Faria da Veiga. Sua dedicação, aconselhamento e paciência durante meu mestrado foram imprescindíveis para a conclusão desta dissertação. Minha gratidão os colegas de trabalho, pelo companheirismo e discussões sempre frutíferas, e à minha família, fonte de incentivo e e amparo emocional. Dentre estes, dedico carinho e agradecimento especial ao meu amigo, namorado e colega de trabalho, Felipe Franco, que forneceu apoio
more » ... ue forneceu apoio incondicional em todas as etapas desse mestrado. Aos professores Alexsandro Gallo e Daniel Smania, obrigada pela participação como membros da banca e pelas valiosas sugestões e observações fornecidas para a conclusão deste trabalho. Por fim, agradeço o apoio financeiro concedido pela CAPES e a todos os professores e funcionários do Instituto de Ciências Matemáticas e da Computação pelo aprendizado proporcionado. Resumo Neste trabalho, analisamos uma equação diferencial estocástica (EDE) do tipo Landau- Utilizando a teoria de análise estocástica (mais precisamente, a fórmula de Feynman-Kac) associamos a EDE acima com uma equação de evolução. Desta forma nosso estudo é resumido ao problema de determinação do espectro do gerador de um semigrupo de evolução. Para realizar esta análise utilizamos técnicas desenvolvidas na teoria quântica de campos. A esquematização do presente texto se dá da seguinte forma: Na introdução formulamos o nosso problema detalhadamente, fornecendo os aspectos da análise estocástica e da teoria de campos envolvidas. Também enunciamos um teorema que resume as propriedades espectrais que pretendemos obter. Nos Capítulos 2 e 3 fornecemos o aparato conceitual necessário para o desenvolvimento do problema inicial. Ainda no Capítulo 3, fazemos uma revisão rápida sobre um problema bem conhecido da mecânica quântica (modelo ' 4 ), afim de estabelecer familiaridade com esta teoria. No Capítulo 4, inicialmente, nos restringimos à determinação de propriedades espectrais para o nosso problema no volume finito, e depois realizamos um procedimento chamado expansão em cluster para passar ao estudo do problema no volume infinito. No Capítulo 5 definimos o operador de Bethe-Salpeter, para então, no Capítulo 6, determinar propriedades do núcleo deste operador. Por fim, estas informações são utilizadas no Capítulo 7 para obtermos a caracterização espectral desejada. Palavras chave: Equações diferenciais estocásticas, Teoria quântica de campos, Análise espectral. Abstract Following [FdVOPS01], we study a stochastic Landau-Ginzburg differential equation of the form where A is a function defined on the space of random variables (x, t), with (x, t) 2 R⇥Z d . Using the stochastic analysis theory (more precisely, the Feynman-Kac formula) we are able to associate this stochastic differential equation (EDE) with an evolution equation. In this way, our study is resumed to the problem of determine the spectrum of the generator of an evolution semigroup. To do this, we use techniques developed in the quantum field theory. This work is organized as follows. In the Introduction we formulate our problem in detail, providing the aspects of the stochastic analysis and field theory that are involved. We also enunciate a theorem that resumes the spectral properties that we want to achieve. Chapters 2 and 3 are meant to provide the conceptual tools that are needed to the development of the initial problem. Yet in Chapter 3, we do a quick review of a known problem in quantum field (the model ' 4 ), intending estabilish familiarity with this theory. Chapter 4 is restricted initially to the determination of spectral properties of our problem in the finite volume [ T, T ] ⇥ ⇤ ⇢ R ⇥ Z d , and then we perform the cluster expansion in order to formulate the problem in infinite volume [ T, T ] ⇥ Z d . In Chapter 5 we define the Bethe-Salpeter operator and, in Chapter 6, we determine some properties of the kernel of this operator. This informations are used in Chapter 7 to obtain the desired spectral characterization.
doi:10.11606/d.55.2016.tde-31032016-105652 fatcat:txfqzraekbaz7pmvbqdbs2kaxe