Le morphisme determinant pour les espaces de modules de groupes p-divisibles

M. Chen
2012 International mathematics research notices  
SoitM un espace de modules de groupes p-divisibles introduit par Rapoport et Zink. Supposons que cet espaceM soit non-ramifié de type EL ou PEL unitaire ou symplectique. Soit M rig la fibre générique de Berthelot deM. C'est un espace rigide analytique au-dessus duquel il existe une tour de revêtements étales finis (M K ) K qui classifient les structures de niveau. On définit un morphisme déterminant det K de la tour (M K ) K vers une tour d'espaces rigides analytiques étales de dimension 0
more » ... de dimension 0 associée au cocentre du groupe réductif relié à cet espace. C'est un analogue local en des places non-archimédiennes du morphisme déterminant pour les variétés de Shimura défini par Deligne. Comme pour les variétés de Shimura, on montre que les fibres géométriques du morphisme déterminant det K sont les composantes connexes géométriques deM K . On définit aussi les morphismes puissances extérieures qui généralisent le morphisme déterminant sur la tour d'espaces rigides analytiques associée à un espace de Lubin-Tate. Mots clefs : composante connexe géométrique, espace analytique rigide, espace de Rapoport-Zink, groupe p-divisible, morphisme déterminant The determinant morphism for the moduli spaces of p-divisible groups Abstract. LetM be a moduli space of p-divisible groups introduced by Rapoport and Zink. Assume thatM is unramified of EL or PEL type which is unitary or symplectic. LetM rig be the generic fiber of Berthelot ofM. This is a rigid analytic space over which there exist a tower of finite etale coverings (M K ) K classifing the level structures. We define a determinant morphism det K from the tower (M K ) K to a tower of rigid analytic spaces of dimension 0 associated to the cocenter of the reductive group related to the spaceM. This is a local analogue on the nonarchimedean places of the determinant morphism for Shimura varieties defined by Deligne. As for Shimura varieties, we prove that the geometric fibers of the determinant morphism det K are the geometrically connected components ofM K . We define also the exterior power morphisms which generalize the determinant morphism on the tower of rigid analytic spaces associated to a Lubin-Tate space. Je tiens tout d'abord à remercier mon directeur de thèse, Laurent Fargues, sans qui cette thèse n'aurait jamais vu le jour. C'est lui qui m'a proposé ce sujet de thèse si intéressant. C'est lui qui, avec beaucoup de patience, m'a aidée à entrer dans ce domaine tout en me laissant une grande liberté. C'est lui qui m'a partagé ses connaissances, ses idées avec générosité. C'est lui qui a répondu à toutes mes questions et qui a corrigé mes nombreuses erreurs. C'est lui aussi qui a soigneusement lu la première version -bien mal présentée-de ma thèse et qui l'a beaucoup corrigée afin de la rendre plus agréable à lire. C'est lui enfin qui m'a appris comment donner un exposé. Il a toujours été là pour m'aider. C'est ce qui m'a donné cette confiance qui m'a permis de continuer chaque fois j'ai senti ma faiblesse. Lorsque j'ai pris la décision d'aller en France pour poursuivre mes études il y a six ans, je ne savais pas que j'entrerais dans un domaine si dur pour moi. J'avoue avoir regretté quelquefois cette décision. Mais aujourd'hui, je me suis rendu compte que j'ai rencontré le meilleur directeur de thèse que je pouvais espérer et je comprends la chance que j'ai eue de pouvoir travailler avec lui durant toutes ces années. Je remercie sincèrement Alain Genestier et Matthias Strauch d'avoir accepté la tâche de rapporter cette thèse. Je remercie également Christophe Breuil, Jean-François Dat, Alain Genestier, Eva Viehmann, Jean-Pierre Wintenberger d'avoir accepté de participer au jury de ma soutenance. Je voudrais remercier aussi Alain Genestier, Matthias Strauch, Eva Viehmann pour leurs remarques sur la version précédente de cette thèse, et pour avoir si aimablement répondu à mes questions. Alain Genestier m'a signalé une lacune dans la démonstration de la surjectivité de la monondromie géométrique. Eva Viehmann m'a signalé l'absence d'une hypothèse pour la conjecture. Mes remerciement vont également à Linsheng Yin, mon directeur de master à l'université Tsinghua. C'était lui qui, dès le début, m'a beaucoup encouragé à me mettre dans la route de recherche mathématique. C'est une coopération entre l'université Paris-Sud XI et l'université Tsinghua qui m'a donné l'occasion de venir en France et de poursuivre mes études à l'université Paris-Sud XI dans un laboratoire de très haut niveau. Je voudrais remercier tous les gens qui y ont participé, surtout Pierre Colmez, Keqin Feng, Jean-Marc Fontaine, David Harari, Luc Illusie, Michel Raynaud, Zhiying Wen... Je suis très reconnaissante à Jean-Marc Fontaine et Luc Illusie, Xiaonan Ma qui m'ont beaucoup aidé après mon arrivée en France. Je profite aussi d'un groupe de travail organisé par Luc Illusie et Alexis Bouthier sur le sujet " introduction aux théorèmes de comparaison p-adiques". Avec Luc Illusie j'ai appris beaucoup de choses en préparant mon exposé de ce groupe de travail. Mes plus chaleureux remerciements s'adressent à tous les membres du laboratoire de mathématiques de l'université Paris-Sud XI, surtout tous les professeurs qui m'ont enseigné ainsi que ceux qui m'ont donnée beaucoup d'aide durant toutes ces années, dont David Harari, Valérie Lavigne, Pierre Pansu, Marie-Christine Myoupo... Je voudrais remercier tous mes collègues, surtout Nalini Anantharaman, Bruno Vallet et Pascal Auscher et les autres avec qui j'ai enseigné. Je voudrais remercier Jilong Tong. Il m'a beaucoup aidée depuis mes années universitaires en chine. Durant toutes ces années, il a gentiment répondu à toutes mes questions de géometrique algébrique. Je garde un très bon souvenir de la vie que nous avons passée ensemble en tant que colocataires aux Baconnets. Je voudrais aussi remercier Yongquan Hu avec qui je suis partie pour la France. C'est lui qui a rendu ma première année en France moins difficile. Je voudrais remercier Richard Aoun. Il n'a jamais hesité à m'encourager et m'a appris le francais quand j'étais encore bien timide, parlant un piètre francais et cherchant autant que possible à éviter les rencontres au bureau. Je voudrais remercier Nicolas de Saxcé, merci pour la culture francaise qu'il m'a partagée, les Fables de La Fontaine qu'il m'a racontées et les petits exercices mathématiques que nous avons faits ensemble. Un grand merci aussi à Hatem Hajri, Ramla Abdellatif, Shweta Sharma pour l'amitié qu'ils m'ont partagée. Je voudrais remercier aussi mes amis chinois qui m'ont accompagnée toutes ces années à l'étranger, surtout les amis qui m'ont accompagnée les premières années en France :
doi:10.1093/imrn/rns094 fatcat:rccgzz3euzes5arj4vl7r2p3ji