Berechnung von Maximalordnungen über Dedekindringen [article]

Carsten Friedrichs, Michael E. Pohst, Technische Universität Berlin, Technische Universität Berlin
2001
R sei ein beliebiger Dedekindring mit Quotientenkörper F=Q(R). In dieser Arbeit werden R-Ordnungen Lambda in endlich dimensionalen separablen F-Algebren A betrachtet, wobei A nicht notwendig kommutativ ist. Es werden (in der Dimension der F-Algebra A) polynomielle Verfahren zur Arithmetik (Summe, Schnitt, Produkt, Quotienten und Inverses) von Rechts-, Links- und zweiseitigen Idealen von Lambda entwickelt. Nebenbei werden Analogien zu Ordnungen in globalen Körpern aufgezeigt, die auch zum
more » ... die auch zum Verständnis der arithmetischen Eigenschaften der Ideale in Ordnungen algebraischer Zahlkörper beitragen. Ähnlich wie in globalen Körpern interessiert man sich für die Berechnung einer Maximalordnung. Im Gegensatz zum kommutativen Fall, ist die Maximalordnung im allgemeinen nicht eindeutig. Zur Berechnung von Maximalordnungen in separablen Algebren wird der Round 1 Algorithmus von Zassenhaus verallgemeinert. Der Round 2 Algorithmus von Zassenhaus nutzt aus, daß jede Maximalordnung hereditär ist, und berechnet erst eine hereditäre Ordnung Lambda(her) > Lambda und dann eine Maximalordnung Lambda(max) > Lambda(her). Wenn die Algebra kommutativ ist, so fällt die hereditäre Ordnung mit der Maximalordnung und mit dem ganzen Abschluß zusammen, so daß man den in globalen Körpern bekannten Round 2 Algorithmus erhält. Ein Teilproblem des Round 1 bzw. Round 2 Algorithmus ist, zu vorgegebenem Primideal p von R, das sogenannte p-Radikal bzw. die maximalen Ideale von Lambda zu konstruieren, die p enthalten. Hierzu werden allgemeine Verfahren angegeben. Insbesondere wird die Verbindung zu dem Algorithmus von Buchmann-Cohen-Lenstra zur Faktorisierung von Indexteilern in algebraischen Zahlkörpern hergestellt. Als Anwendung wird gezeigt, wie man in (nicht notwendig maximalen) Ordnungen beliebige zweiseitige Ideale faktorisiert, wobei man im allgemeinen keine vollständige Faktorisierung in Primideale erhält. Zum Abschluß werden noch einige Verbesserungen betrachtet. Die Verwendung des m-Radikals zur Berechnung hereditärer Ordnungen erlaubt zum [...]
doi:10.14279/depositonce-136 fatcat:63rmuyyu7jdwbpup3ree22d33m