Un model simplu de geometrie Smarandache construit exclusiv cu elemente de geometrie euclidiană

Ovidiu Șandru
unpublished
În spațiul euclidian tridimensional considerăm două plane paralele și distincte 1 α și 2 α. Spațiul Smarandache Σ , pe care îl definim, este alcătuit din punctele acestor două plane, sau altfel zis, 1 2 α α Σ = ∪. Tot prin definiție, considerăm că dreptele acestui spațiu sunt date de reuniunea tuturor dreptelor (euclidiene) incluse în 1 α , sau 2 α. În legătură cu elementele modelului geometric Σ enunțăm următoarele definiții : Definiția 1 : Orice două drepte (ale modelului Σ) care nu se
more » ... ) care nu se intersectează între ele se numesc drepte paralele. Definiția 2 : Despre o dreaptă (din Σ) spunem că separă două puncte distincte (din Σ) nesituate pe această dreaptă dacă segmentul determinat de aceste două puncte se intersectează cu dreapta dată. În continuare vom analiza pe acest model geometric valorile de adevăr a următoarelor trei axiome ale geometriei euclidiene plane : Propoziția 1 : Prin orice două puncte distincte (ale planului euclidian) trece o dreaptă și numai una. Propoziția 2 (Postulatul lui Euclid) : Pintr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la cea dreaptă. Propoziția 3 (Axioma de separare a planului) : Fie d o dreaptă și , A B și C trei puncte nesituate pe d. Dacă dreapta d separă punctele A și B dar nu separă punctele B și C , atunci ea separă punctele A și C. 1) Fie A și B sunt două puncte distincte din Σ. i) Dacă 1 , A B α ∈ , sau dacă 2 , A B α ∈ , atunci prin aceste puncte trece o dreaptă a spațiului Σ și numai una. ii) Dacă 1 A α ∈ și 2 B α ∈ , sau 2 A α ∈ și 1 B α ∈ , atunci prin aceste puncte nu trece nici o dreaptă a spațiului Σ. 2) Fie d este o dreaptă a spațiului Σ și A un punct din Σ nesituat pe d .
fatcat:ho4mxyug75dezmggldgc2ireku