On a nonlocal moving frame approximation of traveling waves

Jose M. Arrieta, Maria López-Fernández, Enrique Zuazua
2011 Comptes rendus. Mathematique  
The profiles of traveling wave solutions of a 1-d reaction-diffusion parabolic equation are transformed into equilibria of a nonlocal equation, by means of an appropriate nonlocal change of variables. In this new formulation both the profile and the propagation speed of the traveling waves emerge as asymptotic limits of solutions of a nonlocal reaction-diffusion problem when time goes to infinity. In this Note we make these results rigorous analyzing the well-posedness and the stability
more » ... es of the corresponding nonlocal Cauchy problem. We also analyze its truncation to a finite interval with consistent boundary conditions. For large enough intervals we show that there is an asymptotically stable equilibrium which approximates the profile of the traveling wave in R. This leads to efficient numerical algorithms for computing the traveling wave profile and velocity of propagation. Résumé Dans cette Note nous considérons le développement de méthodes permettant de préciser aussi bien les profils que la vitesse des ondes progressives pour deséquations de reaction-diffusion, modélisées par deséquations paraboliques semi-linéairesà une dimension d'espace. Moyennant un changement de variable non-local, les profils deviennent des solutions stationnaires d'un problème d'évolution non-local. Nous démontrons que, dans cette nouvelle formulaison, aussi bien les profils que les vitesses de propagation des ondes progressives deviennent desétats stationnaires asymptotiques stables lorsque le temps tend vers l'infini. On analyse aussi la troncature de ce nouveau problème non-local de Cauchy en espace,à un intervalle d'espace fini. Lorsque l'intervalle d'espace tronqué est assez grand on montre qu'il existe unétat stationnaire unique et que si l'intervalle tend vers la droite réelle entière, l'état stationnaire converge vers le profil de l'onde progressive. Ceci permet de développer des méthodes numériques efficaces de calcul des profils et vitesses de ces ondes progressives nonlinéaires.
doi:10.1016/j.crma.2011.07.001 fatcat:7vs7fkeisvcqvkrztwxijfu5zu