Geometry of optimal codebooks and constructive quantization [thesis]

Stefan Junglen
2012
Diese Arbeit widmet sich hauptsächlich der Analyse geometrischer Eigenschaften optimaler Codebücher für Zufallselemente $X$ in einem seperablen Banachraum $E$. Dabei ist für eine natürliche Zahl $ N $ und ein Zufallselement $X$ ein $N$-optimales Codebuch eine $ N $-Teilamenge des unterliegenden Banachraumes $E$, welches eine Bestapproximation zu $ X $ darstellt. Wir konzentrieren uns und auf zwei Typen geometrischer Eigenschaften: Das globale Wachstumsverhalten (wachsend in $N$) für eine Folge
more » ... N$) für eine Folge $N$-optimaler Codebücher wird durch den maximalen (Quantisierung-) Radius und sogenannte Quantisierungskugeln beschrieben. Für viele Verteilungen, wie etwa zentralsymmetrische Verteilungen im $R^d$ als auch Gaussverteilungen in allgemeinen Banachräumen, konnten wir die Asymptotik des Quantisierungsradius sowie die Quantisierungkugel berechnen. Des Weiteren untersuchen wir lokale Eigenschaften optimaler Codebücher, im Speziellen den lokalen Quantisierungsfehler sowie die Gewichte der durch ein optimales Codebuch induzierten Voronoizellen. Für viele interessante Verteilungen im $R^d$ konnten wir klassische Vermutungen über das Wachstumsverhalten dieser Charakteristika beweisen. Im letzten Teil der Arbeit stellen wir eine Methode zu Konstruktion von Folgen asymptotisch optimaler Codebücher für Zufallsvariablen in unendlichdimensionalen Banachräumen vor und wenden diese Methode zur Konstruktion von Codebüchern für Stochastischer Prozesse, wie etwa für die Fraktionelle Brownsche Bewegung, an.
doi:10.25353/ubtr-xxxx-6cb6-fc91 fatcat:einmtl3jxra5xe3boerftvmpuy