Algorithmic aspects of the Lovasz Local Lemma [article]

Themistoklis G. Gouleakis, National Technological University Of Athens, National Technological University Of Athens, Ευστάθιος Ζάχος
2011
Ο σκοπός της διπλωματικής αυτής εργασίας είναι η μελέτη και ανάλυση πιθανοτικών αλγορίθμων που οδηγούν σε κατασκευαστική απόδειξη του "Lovasz Local Lemma". Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό στη θεωρία πιθανοτήτων από το 1975 και έχει χρησιμοποιηθεί σε πολλές εφαρμογές σε συνδυασμό με την πιθανοτική μέθοδο (probabilistic method). Η πιθανοτική μέθοδος είναι ένας τρόπος να αποδυκνύει κανείς την ύπαρξη ενός συνδυαστικού αντικειμένου με χρήση πιθανοτήτων. Συγκεκριμμένα, αν θεωρήσουμε το ενδεχόμενο ένα
more » ... τυχαίο αντικείμενο (σε κάποιο δειγματικό χώρο) να έχει κάποια επιθημητή ιδιότητα και αποδείξουμε ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου αυτού είναι μη μηδενική, τότε η ύπαρξή του αντικειμένου είναι εξασφαλισμένη. Το "Lovasz Local Lemma" αντιμετωπίζει προβλήματα στα οποία υπάρχει ένα σύνολο μη επιθυμητών ιδιοτήτων. Σαν παράδειγμα μπορούμε να αναφέρουμε το πρόβλημα της ικανοποιησιμότητας λογικών προτάσεων (SAT) σε κανονική συζευκτική μορφή (CNF form). Στο πρόβλημα αυτό, το τυχαίο πείραμα είναι η απονομή τιμών αληθείας στις λογικές μεταβλητές και το ζητούμενο είναι να βρεθεί αν υπάρχει κάποια απονομή αλήθειας έτσι ώστε όλες οι "clauses" να είναι αληθείς. Μη επιθυμητή ιδιότητα είναι ότι κάποια "clause" είναι ψευδής. Το "Lovasz Local Lemma" αντιμετωπίζει περιπτώσεις όπου δεν έχουμε πλήρη αλλά μερική ανεξαρτησία αυτών των ενδεχομένων και η απόδειξη με διαφορετικό τρόπο θα ήταν δύσκολη. Η αρχική μορφή του "Lovasz Local Lemma" ήταν υπαρξιακή. Δηλαδή απλώς εξασφάλιζε την ύπαρξη του αντικειμένου χωρίς να δείχνει κάποιο τρόπο για να κατασκευαστεί. Όμως σε πολλές εφαρμογές, συμπεριλαμβανομένης της ικανοποιησιμότητας (SAT), είναι επιθυμητό να κατασκευάσουμε - υπολογίσουμε το αντικείμενο. Στη διπλωματική, θα μελετήσουμε την πρόσφατη (2010) απόδειξη των R.Moser , G.Tardos ότι κάτι τέτοιο είναι εφικτό, που έγινε με χρήση πιθανοτικού αλγορίθμου. Επίσης, θα δούμε μια βελτίωση - γενίκευση του "Lovasz Local Lemma" που αποδείχτηκε αρχικά υπαρξιακά με μεθόδους της Στατιστικής Φυσικής, και θα δούμε στη συνέχεια και μια κατασκευαστική απόδειξη με τη χρ [...]
doi:10.26240/heal.ntua.10238 fatcat:m63snpkwgzcibgpmtjyqqa2woq