Exzeptionelle Folgen in der torischen Geometrie [article]

Andreas Hochenegger, Universitätsbibliothek Der FU Berlin, Universitätsbibliothek Der FU Berlin
2011
In dieser Arbeit werden vor allem exzeptionelle Folgen aus Geradenbündeln auf glatten, projektiven, torischen Flächen untersucht. Außerdem wird noch kurz auf den Fall torischer Orbifaltigkeiten eingegangen. Im ersten Kapitel wird die Sprache der torischen Geometrie vorgestellt. Das Augenmerk wird dabei besonders auf Flächen gelegt, sowohl torische als auch allgemeiner rationale ℂ*-Flächen. In den beiden folgenden Kapiteln werden die Techniken vorgestellt, die im zentralen vierten Kapitel zur
more » ... endung kommen. Zum einen sind das T-Deformationen rationaler ℂ*-Flächen, wie sie von Nathan Ilten entwickelt wurden. Diese Deformationen werden sehr explizit beschrieben und haben den zusätzlichen Vorteil, daß sie einen Isomorphismus von den Picardgruppen der Fasern induzieren. Darauf folgt im dritten Kapitel eine Darstellung der Methoden, die Lutz Hille und Markus Perling entwickelt haben, um exzeptionellen Folge aus Geradenbündeln auf einer rationalen Fläche zu studieren. Sie konnten einer solchen Folge eine torische Fläche zuordnen. Im Zuge dessen ergab sich eine Art "Aufblasung" exzeptioneller Folgen, genannt Augmentation. Im vierten Kapitel verwende ich diese Techniken, um zu zeigen, daß für torische Flächen vom Picardrang 3 und 4 alle exzeptionellen Folgen durch Augmentation aus exzeptionellen Folgen auf Hirzebruchflächen gewonnen werden können. Für Picardrang 5 kann ich jedoch ein Gegenbeispiel anführen. Im abschließenden fünften Kapitel werden exzeptionelle Folgen auf torischen Orbifaltigkeiten betrachtet. Yujiro Kawamata konnte zeigen, daß jede torische Orbifaltigkeit eine volle, exzeptionelle Folge aufweist. Diese Folgen beschränken sich im Gegensatz zum Fall der Flächen nicht mehr nur auf Folgen aus Geradenbündeln. Sein Beweis baut auf dem torischen MMP auf. Dabei wird zunächst eine exzeptionelle Folge auf einem stacky, quasi-gewichteten, projektiven Raum konstruiert und anschließend über Mori-Faserung, divisorielle Kontraktion und Flip zu einer exzeptionellen Folge auf einer beliebigen torischen [...]
doi:10.17169/refubium-5723 fatcat:vsziybysezdylkkn6dfvhydbl4