Неголономная механика Дирака и дифференциальная геометрия

Владимир Петрович Павлов, Vladimir Petrovich Pavlov
2014 Лекционные курсы НОЦ  
Введение к тому, что у лагранжевой 2-формы на поверхности связей появляются дополнительные нулевые векторы, и ожидаемое соответствие между гамильтоновой и лагранжевой формулировками рушится (ср. [6] и [7]). Поэтому для вырожденного случая в нашей работе [8] строится обобщение самого фазового пространства и квазисимплектической структуры на нем: фазовым пространством считается множество, в котором "живут" все функциональные аргументы действия -включая множители Лагранжа, тем более что они
more » ... т естественную физическую интерпретацию. Квазисимплектичность выражается в том, что новая 2-форма вырождена, и соответствие между 1-формами и векторными полями становится неоднозначным: векторные поля определяются с точностью до ядра формы. Тем не менее всем объектам механики Дирака удается придать инвариантный смысл и продемонстрировать взаимно однозначное соответствие объектов лагранжевой и гамильтоновой формулировок. Кроме того, оказывается, что в общем случае алгебра векторных полей, отвечающих дифференциалам связей первого рода, оказывается локальной алгеброй Ли в терминологии Кириллова [9]: коэффициенты линейной комбинации полей, которой равен коммутатор полей, являются не константами, а функциями на фазовом пространстве. В лекциях даются лишь два примера реализации предложенной процедуры для конкретных функций Лагранжа. Дело в том, что техника разделов 2 и 4 выглядит понятнее в произвольным образом выбранных локальных координатах для произвольной функции Лагранжа. Полезным оказываются пример п. 8.1, иллюстрирующий типичную нестандартную ситуацию, когда разделение связей на два рода возникает не сразу, а на последующих этапах процедуры размножения связей, и пример п. 8.2, конечномерная модель типичной квантовополевой ситуации, когда исходная функция Лагранжа -вырожденная квадратичная форма по скоростям. Та же конструкция, но с аменой 1 K на 2 K и т.п., позволяет дать инвариантное описание связей второго рода на втором этапе, и т.д.
doi:10.4213/lkn22 fatcat:57dmdkj2uvb7dkejr6avc4suaa