Aufgaben und Lehrsätze erstere aufzulösen, letztere zu beweisen

J. Steiner
1836 Journal für die Reine und Angewandte Mathematik  
l· JSind beliebige Ebenen^, JB, C, JD,.... gegeben (z.B. die Ebenen, in welchen die Seitenflächen irgend eines Polyeders liegen), und legt man durch irgend einen festen Punct K eine willkührliche Ebene P 9 nennt die Winkel, welche diese mit ihnen bildet, beziehlich o, ß, y, $, ...., und multiplicirt die Cosinus dieser Winkel beziehlich mit beliebigen gegebenen Gröfsen #, Ä, c, </,..*.: so wird die Summe dieser Producte irgend einen bestimmten Werth S haben, so dafs a cos -f-b cos j3 + c cos 7 +
more » ... cos j3 + c cos 7 + d cos j -f-· · · · = S ist. Soll nun die Ebene P um den festen Punct K sich so bewegen, da£s (wenn auch die Winkel #, ß, y,.... sich ändern) die Summe S constant bleibt, so berührt sie stets irgend einen geraden Kegel K (zweiten Grades), dessen Axe Q fest ist, d. h., die unzähligen Kegel K 9 welche ^mf diese Weise entstehen,'wenn man die beschreibende Ebene in immer anderer ursprünglichen Lage annimmt, wo zugleich der Werth S sich ändert, haben eine gemeinschaftliche Axe Q. Die Grenzen der Kegelschaar sind einerseits die Axe Q 9 wo der Erzeugungswinkel des Kegels = 0 ist, und andererseits diejenige Ebene R, welche im Puncte K auf der Axe Q senkrecht steht, und wo der Erzeugungswinkel = f ist. In diesen Grenzen erreicht der Werth S sein Minimum und Maximum. (Die Ebene R ist demnach einzig in ihrer Art, indem ihr allein ein bestimmter Werth S l entspricht ; andererseits entspricht allen Ebenen, welche durch die Axe Q gehen, gemeinschaftlich ein eigentümlicher Werth S 2 , und diese zwei Werthe sind also unter .allen der kleinste und gröfste, oder die Grenzen von S.) Nimmt man statt K irgend einen ändern festen Punct K t an, so sind natürlicherweise die neuen Grenzen Q und R den vorigen parallel, d. i. &#£ und . 2. Wenn in der Ebene irgend ein Netz von geradlinigen convexen Vielecken gegeben ist, dessen Grenze selbst ein convexes Vieleck ist, so soll gezeigt werden, ob allemal ein analoges Netz möglich sei, welches in Crette's Journal d. M. Bd XV, Hfl 4. 49 Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/11/15 3:13 AM
doi:10.1515/crll.1836.15.373 fatcat:shkerlf5cjdm3kcbaeqlqsdyk4