The Isotropic Weyl Tensor on Four-Dimensional Locally Homogeneous Pseudo-Riemannian Manifolds
Изотропный тензор Вейля на четырехмерных локально однородных псевдоримановых многообразиях

С.В. Клепикова
2019 Izvestiya of Altai State University  
В работах многих математиков изучаются локально однородные (псевдо)римановы многообразия, более общим случаем которых являются локально конформно однородные (псевдо)римановы прос транс тва (многоо бразия, конформные преобразования на которых действуют транзитивно). Такие пространства исследовались в случае как римановой, так и псевдоримановой метрик. Из работы Е.Д. Родионова, В.В. Славского и Л.Н. Чибриковой известно, что если для многообразий размерности n ≥ 4 тензор Вейля имеет ненулевой
more » ... ат длины, то с помощью конформной деформации можно из локально конформно однородного (псевдо)риманова пространства получить локально однородное пространство. Отсюда естественным образом следует задача об исследовании таких (псевдо)римановых локально конформно однородных и локально однородных многообразий, для которых квадрат длины тензора Вейля равен нулю, но при этом сам тензор нулю не равен (такой тензор Вейля еще называют изотропным). Приводится описание пошагового алгоритма решения задачи о классификации четырехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразий с изотропным тензором Вейля и нетривиальной подгруппой изотропии. Ключевые слова: (псевдо)римановое многообразие, изотропный тензор Вейля, системы компьютерной математики. The locally homogeneous (pseudo)Riemannian m anifold s are s tudie d by m any m at h em at ici ans. The more general cases of these manifolds are spaces where conformal transformations act transitively. They are also called the locally conformally homogeneous (pseudo)Riemannian manifolds. It is worth noting that such manifolds were investigated both for the case of Riemannian metric, and for the case of pseudo-Riemannian metric. The work of E.D. Ro dionov, V.V. Slavskii, and L.N. Chibrikova claims that if there is a Weyl tensor wit h t he non-zero s quare d lengt h for a manifold of dimension n ≥ 4, then a locally homogeneous space can be obtained from a locally conformally homogeneous (pseudo)Riemannian space by means of a conformal deformation. Hence, there should be a naturally arisen problem to investigate such (pseudo)Riemannian locally conformally homogeneous and locally homogeneous manifolds for which the squared length of the Weyl tensor equals to zero, but the tensor itself is not equal to zero (such a Weyl tensor is also called isotropic). In this paper, we describe a step-by-step algorithm to solve the problem of classification of four-dimensional locally homogeneous pseudo-Riemannian manifolds with an isotropic Weyl tensor and a non-trivial isotropy subgroup. В работах многих математиков изучаются локально однородные (псевдо)римановы многообразия, более общим случаем которых являются локально конформно однородные (псевдо)римановы пространства (т.е. многообразия, конформные преобразования на которых действуют транзитивно). Стоит заметить, что такие пространства исследовались как в случае римановой, так и случае псевдоримановой метрик. Из работы Родионова Е.Д., Славского В.В. и Чибриковой Л.Н. известно, что, если для многообразий размерности n ≥ 4 тензор Вейля имеет ненулевой квадрат длины, тогда с помощью конформной деформации можно из локально конформно однородного (псевдо)риманова пространства получить локально однородное пространство. Отсюда естественным образом появляется задача об исследовании таких (псевдо)римановых локально конформно однородных и локально однородных многообразий, для которых квадрат длины тензора Вейля равен нулю, но при этом сам тензор нулю не равен (такой тензор Вейля ещё называют изотропным). В данной работе приводится описание пошагового алгоритма решения задачи о классификации четырехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразий с изотропным тензором Вейля и нетривиальной подгруппой изотропии. Ключевые слова: (псевдо)римановое многообразие, изотропный тензор Вейля, системы компьютерной математики. DOI1 The locally homogeneous (pseudo)Riemannian manifolds are studies in the works of many mathematicians. The more general case of this manifolds are spaces, whose conformal transformations act transitively. They are also called the locally conformally homogeneous (pseudo)Riemannian manifolds. It is worth noting that such manifolds were investigated both in the case of Riemannian metric, and in the case of pseudo-Riemannian metric. From the work of Rodionov E.D., Slavskii V.V. and Chibrikova L.N. it is known that if for a manifold of dimension n ≥ 4 has a non-zero squred length of the Weyl tensor, then by means of a conformal deformation we can obtain a locally homogeneous space from a locally conformally homogeneous (pseudo)Riemannian space. Hence the problem naturally arises of investigating such (pseudo)Riemannian locally conformally homogeneous and locally homogeneous manifolds for which the square of the length of the Weyl tensor is zero, but the tensor itself is not equal to zero (such a Weyl tensor is also called isotropic). In this paper, we describe a step-by-step algorithm for solving the problem of classifying four-dimensional locally homogeneous pseudo-Riemannian manifolds with an isotropic Weyl tensor and a nontrivial isotropy subgroup.
doi:10.14258/izvasu(2019)1-13 fatcat:qcjf2a7navezncbwgh7mxvbl5i