Die vorliegende Arbeit untersucht Formoptimierungsprobleme mit nichtlinearen Nebenbedingungen in Form von partiellen Differentialgleichungen. Wir geben eine kurze Einführung in die Formoptimierung und wiederholen die wichtigsten Konzepte. Wir stellen anhand eines einfachen Kostenfunktionals, welches von der Lösung einer semilinearen partiellen Differentialgleichung abhängt, bekannte Methoden zur Verifikation der Formableitbarkeit vor. Desweiteren beschäftigen wir uns mit der Minimierung von

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... funktionen. Um diese Probleme zu lösen, werden verschiedene Verfahren beschrieben, um eine Mannigfaltigkeitenstruktur auf die Menge der zulässigen Formen zu bringen. Üblicherweise wird für numerische Simulationen die Randdarstellung der Formableitung verwendet. Aus numerischer Sicht hat diese Darstellung diverse Nachteile, welche detailliert dargestellt werden. Im Gegensatz dazu steht die Volumendarstellung der Formableitung, welche eine numerisch höhere Approximationsgenauigkeit mit sich bringt, wenn sie mit der Randdarstellung verglichen wird. Die Volumendarstellung erlaubt die Formoptimierung von zwei Gesichtspunkten aus zu betrachten: die Eulersche und die Lagrangsche. Beim Eulerzugang werden alle Rechnungen auf dem aktuellen Gebiet durchgeführt, wohingegen bei der Lagrangschen Methode alle Berechnungen auf einem fixierten Gebiet stattfinden. Die Lagrangsche Sicht ist in natürlicher Weise mit Gradientenflüssen in Gruppen von Diffeomorphismen verbunden. Diese Gradientenflüsse hängen von der Wahl einer Metrik ab und wir werden verschiedene Metriken kennenlernen. Im Hauptteil der Arbeit wird ein neues Theorem ueber die Differenzierbarkeit einer Minimax-Funktion bewiesen. Dieses fundamentale Resultat vereinfacht die Herleitung von Optimalitätsbedingungen. Es stellt eine Verallgemeinerung des wichtigen Satzes von Correa und Seeger für die spezielle Klasse von Lagrangefunktionen dar und beseitigt damit die Sattelpunktannahmen. Obwohl wir unser Theorem nur auf Formoptimierungsprobleme anwenden, ist eine Anwendung auf Optim [...]