Teoria ergódica em fluxos homogêneos e teoremas de Ratner [thesis]

Thiago Rodrigo Ramos
Neste trabalho, provamos um caso particular do Teorema de Ratner de classificação de medidas, que nos diz que se X = Γ\G é um espaço homogêneo, onde G é um grupo de Lie e Γ é um lattice de G, então dado um subgrupo unipotente U de G, conseguimos classificar as medidas ergódicas com relação a ação por translação do grupo U em X . Além do Teorema de Ratner de classificação de medidas, falamos sobre o Teorema de Ratner de equidistribuição e o Teorema de Ratner do fecho da órbita, que nos dizem
more » ... , que nos dizem como são as órbitas pela ação por translação do grupo U e como é sua dinâmica em X , do ponto de vista da Teoria Ergódica. Embora estes últimos resultados não sejam provados nesta dissertação, exibimos uma importante aplicação do Teorema de Ratner do fecho da órbita em teoria dos números, provando a Conjectura de Oppeinheim, também conhecida como Teorema de Margullis. Palavras-chave: Teoria Ergódica, Espaços Homogêneos, Grupos de Lie, Teoremas de Ratner. ABSTRACT RAMOS, T. R. Ergodic theory on homogeneous flows and Ratner's theorems. 2018. 85 p. Dissertação (Mestrado em Ciências -Matemática) -Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos -SP, 2018. In this work, we prove a particular case of the Ratner's measure classification theorem, which tell us that if X = Γ\G is an homogeneous space, where G is a Lie group and Γ is a lattice of G, then given any unipotent group U of G, we can classify the measures that are ergodic with respect to the translation group action of U in X In addition to the Ratner's measure classification theorem, we talk about the Ratner's equidistribuition theorem and the Ratner's orbit closure theorem, which tell us how the orbit due the action by translation by the group U are and how the dynamics in X is, in an Ergodic Theory point of view. While we didn't prove the last two Ratner's theorems, we exhibit an important application of the Ratner's orbit closure theorem in number theory, proving the Oppeinheim Conjecture, also know as Margulli's Theorem.
doi:10.11606/d.55.2018.tde-22102018-113843 fatcat:2ucbb4sajzhbtcmevdv4oilega