Todistetaanpa kosinilause

Matti Lehtinen
unpublished
Helsingin yliopisto Matematiikan järjestelmä rakentuu todistuksista. To-distukset perustuvat joko käsitteiden määritelmiin tai niistä tehtyihin perusoletuksiin, aksioomiin, tai asioi-hin, jotka jo on todistettu oikeiksi. Perustelu on oikea, jos se nojautuu oikeiksi hyväksyttyihin asioihin ja jos sen logiikka on kunnossa. Joskus on kuitenkin mielenkiintoista yrittää perustella jokin asia mahdollisimman yksinkertaisin oletuksin. Ti-lannetta voi verrata vaikkapa jonkin esineen, sanotaan vaikka
more » ... sanotaan vaikka pienoismallin tekemiseen. Saattaa olla mahdol-lista hankkia rakennussarja, jossa melkein kaikki on jo valmiina, vain muutama kiinnitys puuttuu, tai esi-neen voi yrittää rakentaa melko suoraan perusraaka-aineita käyttäen. Jälkimmäinen tapa on työläämpi, mutta saattaa olla palkitsevampi. Silmiini sattui hiljattain American Mathematical Monthly-lehden helmikuun 2014 numero. Siinä on Miles Dillon Edwards-nimisen, ilmeisesti melko nuoren matemaatikon pikku kirjoitus, jonka otsikko on "Kosi-nilauseen ehkä uusi todistus". Kun näin perustietoihin kuuluvalle asialle löytyy-ehkä-uusi todistus, voi olla aihetta katsella tätä kosinilausetta ja sen todistamista hiukan muutenkin. Geometrian perusasioita on se, että kolmiot, ABC ja A B C , joissa on kaksi paria yhtä pitkiä sivuja, esi-merkiksi AB = A B ja AC = A C ja näiden sivujen välissä yhtä suuri kulma, siis ∠BAC = ∠B A C , ovat yhteneviä. Siis välttämättä myös BC = B C. Mutta tämähän merkitsee sitä, että aina, kun tiedetään AB:n ja AC:n pituudet ja kulman ∠BAC suuruus, tiedetään myös BC:n pituus. Mutta miten näistä kolmesta suu-reesta, pituuksista AB = c ja AC = b sekä kulmasta ∠BAC = α tuo BC = a saadaan? Kosini ja sini Asia ei ole aivan yksinkertainen. Osoittautuu, että kul-man koon tietäminen sinänsä ei oikein riitä. Tarvitaan apusuure, joka liittyy kulmaan, mutta jonka arvo riip-puu kulmasta oikeastaan aika monimutkaisella tavalla. Suure on kulman α kosini, cos α. Kosini, niin kuin sen sukulainen sinikin, perustuu kolmioiden yhdenmuotoi-suuteen. Kolmiot, joiden kaikki kulmat ovat pareittain yhtä suuret, ovat yhdenmuotoiset. Yhdenmuotoisuu-desta seuraa, että kolmioiden toisiaan vastaavien kol-men sivuparin pituuksien suhde on sama. Kaikki sellaiset suorakulmaiset kolmiot, ABC, joissa ∠BCA on suora kulma ja ∠BAC = α ovat keskenään
fatcat:wxjyaqukvjbgxpgrmv4du6sj5i