Eine neue Relation zwischen den Singularit�ten einer algebraischen Curve

Felix Klein
1876 Mathematische Annalen  
In seiner Untersuchung der Curven vierter Ordnung (diese Annalen VII., p. 410, Comptes Rendus, Juli 1873) hat Zeuthen eine Reihe schSner S~tze bewiesen, die sich auf die Realitiitsverh'~ltnisse der 28 Doppeltangenten dieser Curven, wie ihrer 24 WendeLangenten beziehen. Wit greifen unter ihnen folgende heraus: 1) Z euthen unterscheidet bei den reellen Doppeltangenten solche yon der ersten und solche yon der zweiten Art. Die letzteren beriihren je zwei verschiedene Ziige der Curve, wi~hrend die
more » ... steren entweder denselbep Zug zweimal beriihren oder iiberhaupt keinen Zug, d. h. isollrte Doppeltangentea sin& Die Zahl der Doppeltangente~ erster Art ist nun immer gleieh V@r, so lange die Curve keinen vielfachen Punk~ besitzt. 2) Andererseits bemerkt Zeuthen, das% bei den Curven vierter Ordnung ohne Doppelptmkt, jede Doppeltangente erster Art, welche reelle Berfihrungspunkte hat, eine ,Einbuehtung" des yon ihr berfihrten Curvenzuges abschliesst, d. h. einea Theil der Curve, welcher zwei Weadungen enthiilt. Und auch umgekehrt, so oft bei einer Curve vierter Ordnung (die keinen r Punkt besitzt) eiae reelle Wendung auftritt, wird sie mit einer zweieen Wendang zusammen einer Einhuchtung angehSren und so zu einer Doppeltangente erster Ar~ mit reellen Beriihrungspunkten Anlass geben. .Es ist also die doplvelte Zaht derjenigen DoTpeltangenten erster ~4rt, wdche reeUe Beriihru~)spunkte haben, gleich der Zahl der reellen Wendu~gen. (Insbesondere folg~ hieraus als Maximalzahl der reellen Wendungen bel Curven vierter Ordnung Aeht, wie Salmon vermuthet hatt~. [Higher Plane Carves, 2. Aufl.; ~, 248]).
doi:10.1007/bf01442459 fatcat:6copriskizcufg6yeqxryu5zmq