Eine Klassifikation der ɛ0-Rekursiven Funktionen

Helmut Schwichtenberg
1971 Mathematical Logic Quarterly  
in Munster/Westfalen KLEEXE formuliert in [7J das Problem, "whether the ordinal numbers can be used to give a satisfactory classification of the general recursive functions into a hierarchy under some general principle". Der wohl naheliegendste Ansatz zur Konstruktion einer solchen Hierarchie, namlich Beschrankung der Ordnungstypen der fur Rekursionen zugelassenen Wohlordnungen, fuhrt nicht zum Ziel : MYHILL und ROUTLEDGE haben bewiesen, daS jede rekursive Funktion durch elementare Operationen
more » ... nd nur eine Rekursion langs einer elementaren Wohlordnung vom Typ w definiert werden kann ([ll], [16]; s. auch Lru [9]). I n [7] schlagt KLEEKE eine andere Methode vor, rekursive Funktionen mit Ordinalzahlen in Verbindung zu bringen: Man geht aus von einer effektiv erzeugten Funktionenklasse, etwa der Klasse (3 der elementaren Funktionen, konstruiert eine kanonische Aufzahlungsfunktion El (also El $: @), betrachtet die in El elementaren Funktionen, konstruiert fur sie eine kanonische Aufzahlungsfunktion E, (also E , $: @ ( E l ) ) , usw. Diese Konstruktion la& sich transfinit fortsetzen, wenn fur jede Limeszahl eine sie approximierende Fundamentalfolge zur Verfiigung steht. KLEENE verwendet deshalb sein Bezeichnungssystem S, fur konstruktive Ordinalzahlen, und zwar in einer Version, in der nur primitiv rekursive Fundamentalfolgen zugelassen sind ([7], p. 73); eine solche Einschrankung ist notwendig, da man sonst schon auf dem Niveau w alle rekursiven Funktionen erhielte. Aber auch mit dieser Einschrankung kollabiert die Hierarchie: FEFERMAN zeigt in [2], da13 man dann auf dem Niveau 09 alle rekursiven Funktionen erhalt. Wir behandeln hier das Klassifikationsproblem fur einen Teil der rekursiren Funktionen, die "sO-rekursiven" Funktionen; darunter verstehen wir solche Funktionen, die definierbar sind durch elementare Operationen und "elementare %-Rekursionen", A < z0, der Form f ( x , kj) = S(u]-", g" . . . . g r ; x, g) mit einer ,.Standardwohlordnung" < vom Typ A und einem elementaren Funktional F (genauer in 5 1)l). Diese Funktionenklasse fallt mit der von KREISEL in [S] eingefuhrten Klasse der ordinal rekursiven Funktionen zusammen (einfache Folgerung aus § a), enthalt also genau die Funktionen, "deren Rekursivitat in der reinen Zahlentheorie beweisbar ist" ([S], s. auch SHOENFIELD [IS]). Ein erstes KompliziertheitsmaS fiir E,-rekursive Funktionen wird von der Definition nahegelegt (vgl . HEINERMANN [4] ) : 1st f durch elementare Operationen aus g" . . , , g, definiert, und sind g" . . . , gr die "Rekursionszahlen" a" . . . , a, ( < E~) Mit I! bezeichnen wir hier Limeszahlen < c0, mit a, , 9, y , . . . beliebige Ordinalzahlen <F" . Daneben verwenden wir 1 im Rahmen der Cmcmchen Schreibweise 3. t f Q) ftir die Funktion /. Frakturbuchst,aben F, b, 8, . . . stehen fur Variablentupel.
doi:10.1002/malq.19710170113 fatcat:xpldtm6dnfaf7oucfmpkfff64q