Powers and Polynomials in ${\Bbb Z}_m$

Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler
1999 Elemente der Mathematik  
Dedicated to the memory of Prof. Hans Läuchli Lorenz Halbeisen, geboren 1964 in Laufen, studierte in Basel und Zürich und promovierte an der ETH-Zürich. Nach Forschungsaufenthalten in Caen (Normandie) und Barcelona (Katalonien) ist er gegenwärtig als Research Fellow in Berkeley (Kalifornien) tätig. Norbert Hungerbühler wurde 1964 geboren. Er studierte an der ETH Zürich, wo er 1994 seine Dissertation bei Michael Struwe abschloss. Anschliessend war er an der Universität Freiburg im Breisgau, an
more » ... g im Breisgau, an der University of Minnesota in Minneapolis und an der ETH in Zürich tätig. Seit Herbst 1998 arbeitet er am Max-Planck-Institut für Mathematik in Leipzig. Hans Läuchli studierte an der ETH in Zürich und promovierte 1961 bei Ernst Specker mit einer Arbeit über das Auswahlaxiom. Nach Aufenthalten an der University of California in Berkeley und an der University of Arizona in Tucson wurde er 1966 Professor an der ETH. Seine Interessen galten der ganzen Mathematik, am liebsten aber forschte er im Bereich der Logik, der Mengenlehre und der Kombinatorik. Nach längerer schwerer Krankheit verstarb er, erst 64jährig, im Sommer 1997. . Beim Rechnen in Z m , dem Restklassenring der ganzen Zahlen modulo m, darf man laufend alle auftretenden Summanden, Faktoren und Zwischenresultate modulo m reduzieren, so dass man nie mit wirklich grossen Zahlen rechnen muss. Wie steht es aber mit Exponenten? Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler und Hans Läuchli zeigen, dass es nur ganz wenige Moduln m, nämlich 1, 2, 6, 42 und 1806, gibt, für die auch eine Formel vom Typ a b ≡ a b mod m allgemein zutrifft. Gewisse Reduktionen sind aber auch bei beliebigen Moduln m möglich. So lassen sich Funktionen x → x b (x ∈ Z m ) mit (grossen) Exponenten b in systematischer Weise durch Polynome x → g(x) mit gleichen Werten auf Z m , aber wesentlich niedrigerem Grad, ersetzen. Hans Läuchli ist am 13. August 1997 gestorben. Die Elemente der Mathematik rechnen es sich als Ehre an, diese schöne und reizvolle Arbeit, die letzte, an der Hans Läuchli noch mitgearbeitet hat, publizieren zu dürfen. cbl
doi:10.1007/s000170050003 fatcat:r4mgjmlzi5gujm4saux6tgbkeq