A irracionalidade e transcendência de certos logaritmos

Ronald Simões de Matos Pinto, Liliane Manuela C. da Costa
2018 Revista Professor de Matemática On line  
Neste artigo exibimos algumas demonstrações de irracionalidade de certos logaritmos. A importância deste fato relaciona-se com a caracterização dos números irracionais pela representação decimal infinita não-periódica. Tanto nas antigas tábuas de logaritmos como nas calculadoras eletrônicas os valores dos logaritmos são representados na forma de uma expressão decimal finita. Isto pode gerar a falsa impressão de que se tratam necessariamente de números racionais. Ao contrário de diversos textos
more » ... artigos sobre o assunto, não ficamos restritos ao logaritmo decimal. Com efeito, mostramos uma condição suficiente para o número log b a ser irracional, onde a > 0 e b > 1 são inteiros e também um critério que estabelece a irracionalidade de log b a quando b > 1 for livre de quadrados. Mostramos por fim, lançando mão do Teorema de Gelfond-Schneider, algumas provas da transcendência de certos logaritmos e tratamos de logaritmos de números reais não-inteiros.
doi:10.21711/2319023x2018/pmo66 fatcat:4xklkl2vrffu7g7w5ougg4y7tq