Théorèmes d'annulation et groupes de Picard

Helmut Hamm, Lê Dũng Tráng
2010 Journal of Singularities  
Dans cet article nous donnons des théorèmes du type de Lefschetz pour les groupes de Picard des variétés quasi-projectives. En particulier pour leur démonstration nous démontrons une généralisation du théorème d'annulation de Kodaira que nous interprétons comme un théorème de Lefschetz pour le faisceau structural. Abstract In this paper we give Lefschetz type theorems for Picard groups of quasiprojective varieties. In particular we prove a generalization of the Kodaira vanishing theorem that we
more » ... ing theorem that we understand as a Lefschetz theorem for the structural sheaf. 1 Théorème de Lefschetz singulier pour le groupe de Picard Soit Y un espace analytique complexe réduit (resp. une variété algébrique complexe). Soit O Y son faisceau structural. Soit m un entier. On note (cf [2] Part II §2): x désigne la profondeur de l'anneau local O Y,x (dans le cas algébrique pour définir S m (O Y ) on ne considère que les points fermés x de Y ). D'après un théorème de G. Scheja ([27]), S m (O Y ) est un sous-espace analytique fermé de Y . Pour un sous-espace analytique fermé A, on peut prendre pour définition: On a le théorème suivant (voir [2] Part II Theorem 3.6): 1.1 Théorème. Soit Y un espace analytique, A un sous-espace analytique fermé de Y . Pour tout entier n ≥ 1, les conditions suivantes sontéquivalentes: 2. pour tout ouvert U de Y , on a: Ce théorème montre clairement comment une condition sur la profondeur se traduit par l'annulation de cohomologies. Remarquons que la condition 2 du théorème ci-dessus peut s'écrire: 2 bis. pour tout ouvert U de Y , le morphisme naturel: Rappelons que le groupe de Picard d'un espace annelé est le groupe des classes d'isomorphismes des faisceaux inversibles sur l'espace annelé. Donc, le groupe de Picard d'une variété algébrique est le groupe des classes d'isomorphismes des faisceaux inversibles sur la variété. Le groupe de Picard analytique est le groupe des 14 classes d'isomorphismes des faisceaux analytiques inversibles sur l'espace analytique considéré. De façon analogue au cas du théorème de Lefschetz sur les sections hyperplanes (voir [20]), nous avons un théorème du type de Lefschetz pour le groupe de Picard dans lequel nous avons des hypothèses de profondeur, i.e. des hypothèses d'annulation sur certaines cohomologies: 1.2 Théorème. Soit X une variété projective complexe dans P m , Z un sous-espace fermé. Fixons une stratification de Whitney de X qui soit compatible avec Z et Sing X. Soit H un hyperplan de P m qui coupe X transversalement au sens stratifié. On fait l'hypothèse (H) suivante: dim(X \ Z) ≥ 4, prof (Sing X an \Z an ) O (X an \Z an ) ≥ 3 et on suppose de plus que H 3 (X an , X an \ {x}; Z) = 0 pour tout x ∈ X an \ Z an . Alors Démonstration: Comme X est quasi-projectif, d'après [10] Prop. 21.3.3 et Cor. 2.3.5, le groupe de Picard de X \ Z est isomorphe au groupe des classes de diviseurs de Cartier CaCl(X \ Z) : La même chose vaut pour X ∩ H \ Z. En plus, l'application canonique dans le groupe des classes de diviseurs de Weil est injective, car avec les hypothèses du théorème, X \ Z est normal (voir la Proposition 21.3.4b) et le Corollaire 21.6.10 de [10] ou aussi Lemma 2.2 de [16] ). D'après la définition de S m avec m = dim (X an \ Z an ), on aévidemment: S dim (X an \Z an ) (O (X an \Z an ) ) = X an \ Z an Par [17] Theorem 1.5, comme codim (X\Z) Sing (X \Z) ≥ 2 nous savons que les groupes de classes de diviseurs de Weil Cl(X \ Z) et Cl(X ∩ H \ Z) sont isomorphes: Cl(X \ Z) Cl(X ∩ H \ Z). Ceci implique, en considérant le diagramme commutatif suivant: Cl(X ∩ H \ Z)
doi:10.5427/jsing.2010.1b fatcat:ay3bgfqugjfjzji7dsmevdx6ze