Sur la théorie des formes différentielles attachées à une variété analytique complexe

André Weil
1947
Extrait d'une lettre à O.deRham*) Soit F une variété compacte, à structure analytique complexe, de dimension réelle 2n (i. e. de dimension complexe n) ; autrement dit, au voisinage de tout point de F, on s'est donné un système de n coordonnées locales, complexes, et les formules de passage d'un système de coordonnées locales à un autre, en un point commun aux domaines où ils sont respectivement valables, sont analytiques (complexes). Ceci implique naturellement sur F, du point de vue réel, une
more » ... tructure 0e0, c'est-à-dire une structure analytique réelle, et a fortiori une structure différentiable d'ordre N quel que soit N. Supposons maintenant qu'on ait défini sur F une structure hermitienne, au moyen d'un ds2, donné localement au voisinage de tout point, n par une expression de la forme ds2 J£ o)v 7ôv, où les oev sont n combiv l naisons linéaires, linéairement indépendantes, des différentielles dzv des coordonnées (complexes) locales z1,...,zn. A ce ds2 est associée de manière invariante (pour la structure analytique complexe donnée sur F) la forme différentielle extérieure de degré 2, Q ^jcov f\7ôv (où A dé-V note la multiplication extérieure). La métrique donnée sera dite kàhlerienne si l'on a dû 0. Sur les notions qui précèdent, cf. le mémoire de Chern1), en particulier pp. 87 et 109-112. Du point de vue réel, le ds2 donné détermine sur F une structure de variété riemannienne, de sorte qu'on peut en déduire, comme dans le livre de Hodge2), p. 109, et dans votre mémoire en commun avec P. Bi-*) Nous le publions à la demande de G. de Rham. (NDLR). *) S.S.Chern, Characteristie classes of Hermitian manifolds, Ann. of Maths. vol. 47 (1946), p. 85. 2) W.Hodge, The theory and applications of harmonie intégrais, Cambridge 1941; ce livre sera cité "Hodge".
doi:10.5169/seals-18053 fatcat:xjdaejpgobgjtpe2yzqldviz5u