Die zunehmende Komplexität mathematischer Modellierungen erfordert sowohl die Entwicklung effektiver und zuverlässiger numerischer Integrationsverfahren für spezielle Klassen partieller Differentialgleichungssysteme als auch die Einbeziehung neuer Probleme in die Betrachtungen. Im ersten Teil wird eine Klasse linear-impliziter Splitting-Methoden zur numerischen Lösung räumlich mehrdimensionaler parabolischer Anfangs-Randwertprobleme entwickelt. Gegenstand der Betrachtungen ist die numerische

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... ung des aus der vertikale Linienmethode erhaltenen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems. Dieses semidiskrete System ist für feine Ortsgitter sehr groß und steif, besitzt aber eine spezielle Struktur. Splitting-Methoden nutzen diese Struktur zur Reduzierung des Rechenaufwandes aus. Es wird auf die Stabilität von linearen Operator-Splitting-Methoden eingegangen und geeignete Stabilitätsbegriffe definiert. Anschließend wird eine neue Klasse von linear-impliziten Splitting-Methoden eingeführt und untersucht, die gute Stabilitätseigenschaften mit guter Implementierbarkeit verbinden. Es werden spezielle Verfahren angegeben und ihre Effektivität anhand von numerischen Testrechnungen illustriert. Die Betrachtungen zum zweiten Schwerpunkt der Arbeit wenden sich einer speziellen Klasse von Systemen partieller Differentialgleichungen zu, die aus einer Kopplung von Gleichungen unterschiedlichen Typs bestehen, die auch als partielle differentiell-algebraische Gleichungen (engl.: PDAEs, partial differential algebraic equations) bezeichnet werden. Es werden (zeitabhängige) partielle Differentialgleichungen z.B. mit DAEs oder ODEs oder algebraischen Gleichungen gekoppelt. Ziel ist es, eine Charakterisierung der Eigenschaften linearer PDAEs der Form Au(t,x)+Bu(t,x)+Cu(t,x)=g(t,x) mit A, B, C ∈ R^nxn zu geben. Mindestens eine der beiden Matrizen A, B sei dabei singulär. Für eine eindeutige Lösbarkeit muß die PDAE durch Anfangs- und geeignete Randbedingungen ergänzt werden. Dabei wird ausgeführt, daß im Gegensatz zu PDEs mit regulären [...]