Invariant jets of a smooth dynamical system

Sophie Lemaire
2001 Bulletin de la Société Mathématique de France  
The local deformations of a submanifold under the effect of a smooth dynamical system are studied with the help of Oseledets' multiplicative ergodic theorem. Equivalence classes of submanifolds, called jets, are introduced in order to describe these local deformations. They identify submanifolds having the same approximations up to some order at a given point. For every order k, a condition on the Lyapunov exponents of the dynamical system is established insuring the convergence of the k-jet of
more » ... nce of the k-jet of a submanifold evolving under the action of the dynamical system. This condition can be satisfied even by stable dynamical systems. The limit is a k-jet which is invariant by the dynamical system. Résumé (Les jets invariants d'un système dynamique). - Nousétudions les déformations locales d'une sous-variétéévoluant sous l'action d'un système dynamique régulier. Afin de décrire ces déformations, nous introduisons des classes d'équivalence de sous-variétés, appelées jets, qui identifient les sous-variétés ayant les mêmes approximations en un point jusqu'à un certain ordre. Pour tout entier k, nous obtenons une condition sur les exposants de Lyapounov du système dynamique assurant la convergence des jets d'ordre k des images d'une sous-variété par le système. Cette condition n'exclut pas les systèmes dynamiques stables. La limite obtenue est un jet d'ordre k invariant par le système dynamique. Texte reçu le 15 mars 2000, accepté le 7 mars 2001 By applying the RDS (φ n ) between times −n and 0, one defines a random family of d-dimensional submanifolds of R N passing through 0, denoted by V n : tome 129 -2001 -n o 3 1.3.3. Contacts of a submanifold at 0. -Using jets of parametrizations, one may define jets for smooth submanifolds of R N : Definition 1.5. -Let k be a positive integer. Two C ∞ submanifolds S 1 and S 2 of R N passing through 0 have a "contact of order at least k at 0" if BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
doi:10.24033/bsmf.2403 fatcat:cvfut36z7rhxzatjcth5grz34e