Boundary values as Hamiltonian variables. III. Ideal fluid with a free surface

Vladimir O. Soloviev
2002 Journal of Mathematical Physics  
Аннотация Соловьев В.О. Граничные значения как гамильтоновы переменные. III. Идеальная жидкость со свободной поверхностью: Препринт ИФВЭ 2001-35. -Протвино, 2001. -24 с., библиогр.: 23. Рассматривается одно из приложений развитого в предыдущих работах подхода к гамильтонову анализу граничных членов. Для невязкой сжимаемой жидкости с поверхностным натяжением, находящейся в поле ньютонова гравитационного потенциала, строится гамильтонов формализм и выясняется роль общепринятых граничных условий.
more » ... граничных условий. Показано, что эти условия обеспечивают отсутствие сингулярных членов в уравнениях движения, т.е. в гамильтоновых векторных полях. С другой стороны, вариация гамильтониана содержит, вообще говоря, ненулевой граничный вклад, а такие гамильтонианы обычно называют "недифференцируемыми" или "недопустимыми". Это означает, что для неультралокальных скобок Пуассона "недифференцируемые" функционалы могут быть допустимыми гамильтонианами. Дается четырехстороняя картина динамики свободной поверхности: как с точки зрения лагранжевых, так и эйлеровых координат; как в вариационном, так и в гамильтоновом подходах. Abstract Soloviev V.O. Boundary Values as Hamiltonian Variables. III. Ideal Fluid with a Free Surface: IHEP Preprint 2001-35. -Protvino, 2001. -p. 24, refs.: 23. An application of the approach to Hamiltonian treatment of boundary terms proposed in previous articles of this series is considered. Here the Hamiltonian formalism is constructed and the role of standard boundary conditions is revealed for a nonviscid compressible fluid with surface tension which moves in a field of the Newtonian gravitational potential. It is shown that these boundary conditions guarantee absence of singular contributions to the equations of motion, i.e. to the Hamiltonian vector fields. From the other side the Hamiltonian variation contains a nonzero boundary term. Such Hamiltonians are usually treated as "non-differentiable" or "inadmissible". We conclude that non-differentiable functionals can be admissible Hamiltonians for nonultralocal Poisson brackets. We give a four-sided picture of free surface dynamics: both in Lagrangian and in Eulerian variables and also both in variational and in Hamiltonian approaches. c Государственный научный центр Российской Федерации Институт физики высоких энергий, 2001 Введение В предыдущих работах [1], [2] мы попытались построить достаточно общий гамильтонов формализм теории поля, не требующий отбрасывания граничных членов при интегрировании по частям. За мотивацией и детальной разработкой метода отсылаем заинтересованного читателя к этим ссылкам. Целью настоящей работы является применение построенного формализма к одной конкретной задаче -описанию динамики идеальной сжимаемой жидкости с целью выяснить роль, которую играют граничные условия при определении класса допустимых функционалов. Новым общим результатом по сравнению, например, с подходом, предложенным Редже и Тейтельбоймом [3] и являющимся в настоящее время общепринятым (см., например, [4]), является то, что для неультралокальных скобок Пуассона этот класс может отличаться от класса "дифференцируемых" функционалов. Весьма краткое и предварительное изложение этих результатов появилось в работе [5], где были рассмотрены два примера: формализм Аштекара в канонической гравитации и гидродинамика идеальной жидкости. Позднее первый из примеров был детально исследован в статье [6] . Здесь будет подробно разобран второй пример. Напомним сначала историю применения гамильтонова подхода к изучению поверхностных волн в идеальной (невязкой) жидкости. В 1967 г. Захаров [7] впервые предложил использовать канонический формализм для анализа волн на поверхности несжимаемой жидкости в случае ее потенциального течения. Позднее, в 1977 г., эта проблема обсуждалась также Миллсом [8] и Майлдером [9] . В 1986 г. Марсден и его соавторы [10] предложили свой подход к более общей задаче, когда течение несжимаемой жидкости уже не предполагалось потенциальным. В 1988 г. Абарбанел и др. [11] рассмотрели случай сжимаемой жидкости. Подходы этих авторов довольно сильно отличаются друг от друга. Было бы интересно воспроизвести результаты всех этих работ на основе формализма, развитого в наших предыдущих публикациях [1], [2] . Здесь мы, однако, ограничимся случаем сжимаемой жидкости. Итак, основным объектом изучения будет динамика сжимаемой невязкой жидкости в эйлеровых координатах, а основным методом -гамильтонов формализм, сохраняющий все граничные члены. Для полноты картины напомним связи, существующие между
doi:10.1063/1.1478145 fatcat:bk455pxzgvcvnddqr7x2iv7vqe