Perfect pseudo matchings on snarks

Benjamin Schwendinger, Günther Raidl, Benedikt Klocker
2019
Das Problem des Cycle Double Cover (CDC) wird nun seit über 45 Jahren von Graphentheoretikern betrachtet. Obwohl dieses Problem für viele Familien von Graphen bereits gelöst werden konnte, bleibt es für den allgemeinen Fall weiterhin ungelöst ([31]). Die Aufgabenstellung ist simpel: Gegeben sei ein brückenloser Graph G. Gibt es eine Familie von Zyklen, bestehend aus Kanten von G, sodass jede Kante von G von dieser Familie genau doppelt überdeckt wird? In dieser Diplomarbeit versuchen wir einen
more » ... euen, bisher nicht untersuchten Lösungsansatz für das CDC zu entwickeln. Dabei greifen wir auf das exakte Verfahren der ganzzahligen linearen Programmierung zurück. Wir beginnen zuerst mit dem Begriff des Pseudo Matchings. Dieses stellt eine Generaliserung des graphentheoretischen Matchings dar. Analog zu gewöhnlichen Matchings definieren wir weiters den Begriff des perfect pseudo matching (PPM). In weiterer Folge betrachten wir den Kontraktionsgaphen, der durch die Kontraktion eines Graphen mit einem zugehörigen PPM entsteht. Sollte der Kontraktionsgraph planar bzw. zumindest ohne K_5-Minor sein, so beweisen wir fußfassend auf der Vorarbeit von Fan und Zhang ([11]), dass der ursprüngliche Graph dann ein CDC besitzen muss. Für planare Graphen wurde dies bereits durch Fleischner bewiesen ([13]). Nachdem Jaeger ([21]) bewies, dass ein Gegenbeispiel mit minimaler Kantenanzahl für das CDC ein Snark (ein zyklisch 4-Kanten zusammenhängender, brückenloser kubischer Graph mit chromatischem Index 4) sein muss, betrachten wir in Folge Snarks bis zu einer Ordnung von 52 Knoten. Dabei können wir einerseits das CDC für Graphen bis zu einer Knotenanzahl von 26 verifizieren, anderseits werden auch die Limitationen unseres neuen Ansatzes aufgezeigt. So finden wir Snarks mit 26 (bzw. 28) Knoten, die kein planares (bzw. K_5-Minor freies) PPM besitzen und für welche sich somit mittels unseres entwickelten Ansatzes keine Aussage treffen lässt, ob sie ein CDC besitzen. Um die Effizienz unseres entwickelten Ansatzes und des dahinter liegenden A [...]
doi:10.34726/hss.2019.60527 fatcat:iyadeupy6zaapfrqdkq6l2nxb4