Для графов отношения эквивалентности получен ответ на вопрос М. Беттчера и У. Кнауэра, при каких условиях множество полусильных (локально сильных, квазисильных) эндоморфизмов является полугруппой. Найдены условия регулярности таких полугрупп. Ключевые слова: регулярность, полугруппа, эндоморфизм, эквивалентность. Введение Полугруппам эндоморфизмов графов различных классов посвящено множество исследований. К примеру, хорошо освещен в литературе вопрос об определяемости графов своими

more »

... и. Так, данную проблему изучал Л. М. Глускин [1] для квазипорядков; Л. Б. Шнеперман [2], Ю. М. Важенин [3], Б. В. Попов [4] для рефлексивных графов; Ж. Араужо и Я. Конечны [5] для так называемых плотных отношений. Условия регулярности полугрупп эндоморфизмов упорядоченного и квазиупорядоченного множеств исследованы в [6], а для конечных и счётных цепей в [7, 8]. Копредставление моноида эндоморфизмов конечной цепи найдено в [9]. Как отмечено выше, определение эндоморфизма зачастую рассматривалось с некоторыми дополнительными условиями в зависимости от целей исследования. Различные типы эндоморфизмов собраны в [10] для определения спектра эндоморфизмов и эндотипа. С их помощью можно классифицировать графы [10, 11]. Целый ряд работ китайских математиков посвящен изучению отношений Грина и регулярных элементов полугрупп эндоморфизмов графов эквивалентностей и их подполугрупп: эндоморфизмы изучались в [12, 13], сильные эндоморфизмы в [14], изоморфизмы в [15, 16]. Точное представление моноида эндоморфизмов графа отношения эквивалентности описано в [17], а для 2-нильпотентных отношений в [18]. Открытым в этом направлении остается вопрос М. Беттчера и У. Кнауэра [10], при каких условиях множество всех полусильных (локально сильных, квазисильных) эндоморфизмов неориентированного графа является полугруппой. В настоящей работе получен ответ на данный вопрос для графов отношения эквивалентности. Работа построена следующим образом. В п. 1 приводятся необходимые определения и обозначения. В пп. 2-4 изучаются полусильные, локально сильные и квазисильные эндоморфизмы отношения эквивалентности. Получено описание соответствующих эндоморфизмов, найдены необходимые и достаточные условия, когда множество таких эндоморфизмов образует полугруппу, и доказана регулярность этих полугрупп.