Combinatorial restrictions on cell complexes [article]

Florian Frick, Technische Universität Berlin, Technische Universität Berlin, John M. Sullivan
2015
In dieser Arbeit wird die constraint method entwickelt, die sich auf zum topologischen Tverberg Theorem verwandte Probleme über Schnitte paarweise disjunkter Seiten in einem stetigen Bild eines Simplizialkomplexes anwenden lässt. Mithilfe dieser elementaren kombinatorischen Methode werden solche Sätze auf das topologische Tverberg Theorem reduziert. Diese Resultate sind ein gemeinsames Projekt mit Pavle Blagojević und Günter M. Ziegler. Zudem gelingt es mit dieser Methode die
more » ... etzung in einem Satz von Mabillard und Wagner (Eliminating Tverberg Points, I. An Analogue of the Whitney Trick, Proc. 30th Annual Symp. Comput. Geom. (SoCG), Kyoto, June 2014, ACM, 2014, pp. 171–180.) zu umgehen und somit die Existenz von Gegenbeispielen zur topologischen Tverberg Vermutung zu beweisen. Es werden kombinatorische Konstruktionen vorgestellt, um Triangulierungen von Mannigfaltigkeiten mit niedriger Valenz zu erhalten. Insbesondere gibt das einen elementaren Beweis eines Satzes von Brady, McCammond und Meier (Bounding edge degrees in triangulated 3-manifolds, Proc. Amer. Math. Soc. 132 (2004), 291–298.) über die Existenz von Triangulierungen von 3-Mannigfaltigkeiten mit Valenzschranken. Für höhere Dimensionen wird gezeigt, dass jede PL-Mannigfaltigkeit eine Triangulierung mit Valenz höchstens neun hat. Gewisse lokale kombinatorische Eigenschaften von 3-dimensionalen Triangulierungen führen zu Mannigfaltigkeiten mit isotroper Geometrie. Diese Resultate sind ein gemeinsames Projekt mit Frank Lutz und John M. Sullivan. Das letzte Kapitel enthält einen einfachen Beweis eines Resultats von Miller und Pak (Metric Combinatorics of Convex Polyhedra: Cut Loci and Nonoverlapping Unfoldings, Discrete Comput. Geom. 39 (2008), no. 1-3, 339–388.), dass keine metrische Obstruktion zu Shephards Vermutung über die Entfaltbarkeit von Polytopen in beliebiger Dimension existiert
doi:10.14279/depositonce-4545 fatcat:3hvfwbr4lfbbxooinv2ejlryvy