Ueber die ~iberall oscillirenden differenzirbaren Functionen. Von A SCHOE~FLIES in K~nigsberg. Auf die merkwfirdige Thatsache, class es fiberall oscillirende stetige Functionen giebt, die in jedem Punkte eine bestimmte Ableit-ang besitzen, hat bekann~lich zuerst Herr KSpcke durch Construction eines speciellen Beispiels dieser Art hingewiesen.*) Mir persSnlich ist kfirzlich die Existenz solcher Functionen auch yon tterrn Brodgn bes~itig~ worden~ der auf einem andern Wege zu ihnen gelangt sein

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... ffte, und seine Resultate voraussichtlich demn~hst verSffentlichen wird.**) Als ich bei Gelegenheit meines demn~chst erscheinenden Berichts fiber Mengenlehre selbst an das Studium dieser Functionsgattung heranging, bin ich zu Formeln gelang~, die die ganze Classe dieser Functionen ken,zeicbnen, so class ich es ffir nfitzlich halte, sie bier mitzutheilen. Wie die Herren Brodgn und Steinitz, die kfirzlich fiber die fiberall oscillirenden Functionen gearbeitet haben~***) gehe ich davon aus, die Function dadurch zu bestimmen, dass ich ihre Wer~he an einer fiberall dichten Menge gleichm~ssig stetig vorschreibe. Man kann so die Structur der Function in der mannigfachsten Weise so beeinflussen, dass sie fiberall differenzirbar ist. Es sei s--a.-, b das lntervall, in dem die Function f(x) definirt ist~ so w~ihle ich als diejenige iiberall dichte Menge, an der ich die Werthe der Function vorschreibe, die Menge der Maxima und M1nim~. selbst. Dabei bemerke ich noch, class es sich nur um lanier eigentliche Maxima und Minima handeln soll. Um alle Functionen dieser Ar~ zu erhalten, kann man folgendermassen veffahren.