Géométrie dans l'espace

Mabrouk Brahim
unpublished
2007 Ce cours a pour objet la présentation des différents concepts de la géométrie de l'espace comme une continuation de ceux vus en géométrie élémentaire du plan. Certains théorèmes fondamentaux , comme le théorème d'Euclide ou le théorème de Thalès, peuvent être présentés dans le plan comme des postulats, alors que dans l'espace, ils font l'objet de démonstrations simples et élégantes. La perpendicularité dans le plan prend dans l'espace deux formes proches mais bien distinctes : la
more » ... ctes : la perpendicularité suppose l'existence d'une intersection non vide, alors que l'orthogonalité de deux droites suppose qu'elles ne sont pas coplanaires. Une place importante est réservée dans ce cours à plusieurs transformations de l'espace, l'approche choisie étant la généralisation des définitions et des propriétés des transformations du plan. De nombreux exercices sont proposés à la fin de chaque chapitre. Ils visent à aider l'étudiant à raisonner dans l'espace, contrôler sa connaissance du cours et à résoudre des problèmes. Chapitre 1 : Axiomes d'incidences et d'ordre 1. Axiomes d'incidence et d'ordre 1-1-Introduction L'espace ξ 3 est un ensemble non vide dont les éléments sont appelés points. Parmi les sousensembles non vides de ξ 3 on distingue la famille ∆ dont les éléments sont appelés droites et la famille Π dont les éléments sont appelés plans. Afin que le contenu de ce paragraphe ne soit pas en quelque sorte vide, nous allons admettre le pseudo-axiome suivant qui sera une conséquence des axiomes. Α 0 : Toute droite de ξ 3 contient au moins trois points distincts et tout plan de ξ 3 contient au moins deux droites distinctes. 1-2-Axiome Α 1 Α 1 : Par deux points distincts, il passe une droite et une seule. Notation : soit A et B deux points distincts de ξ 3 , la notation (AB) désignera la droite contenant ces deux points. 1-3-Axiome Α 2 Α 2 : Si un plan Π contient deux points distincts A et B, alors Π contient la droite (AB). 1-4-Axiome Α 3 Α 3 : Pour trois points de ξ 3 il passe au moins un plan. 1 1-5-Définition Nota bene : Des points de ξ 3 sont dits coplanaires lorsque ces points appartiennent à un même plan. 1-6-Axiome Α 4 (Postulat d'Euclide) 1-7-Remarques • Si M ∈ ∆, il est évident que ∆ est la seule parallèle issue de M à ∆. • Il découle immédiatement de l'axiome Α 4 que dans tout plan Π la relation de parallélisme est une relation d'équivalence et que deux droites de Π qui ne sont pas parallèles sont sécantes. 1-8-Axiome Α 5 Α 5 : Toute droite est munie de deux structures d'ordre total opposées. Commentaire : 1) Rappelons qu'une relation binaire Ρ définie sur un ensemble E est une relation d'ordre total si Ρ est réflexive, transitive, antisymétrique et vérifie en plus : 2) L'axiome Α 5 exprime l'idée intuitive suivante : sur toute droite il existe 2 sens de « parcours » 3) Soit ∆ une droite ; désignons par Ρ ∆ et les deux relations d'ordre total sur ∆ ; Ρ ∆ et sont opposées signifie : 2 1-9-Définitions et notations Soit A et B deux points d'une droite ∆. Désignons pour simplifier par ≤ la relation d'ordre sur ∆ telle que A ≤ B. On définit alors d'une façon naturelle les intervalles [AB], ]AB], [AB[, ]AB[ d' extrémités A et B. De même on définit les demi-droites ]← A], ]← A[, [A → [, ]A → [ comme dans R. Il est évident qu'en tant que sous-ensembles les intervalles et les demi-droites sont indépendants de la relation d'ordre total choisie sur ∆. Conséquences rapides des axiomes d'incidence et d'ordre 2-1-Théorème Trois points distincts A, B et C non alignés déterminent un plan. Démonstration : 1-D'après l'axiome Α 3 , il existe un plan P passant par A, B et C. Supposons qu'il existe un autre plan Q contenant A, B et C. Ce plan contient alors les droites (AB), (BC) et (CA). Soit M un point de P. (Figure 2) Il découle de l'axiome Α 2 que si M appartient à l'une des droites (AB), (BC), (AC), M appartient alors à Q. Supposons M extérieur à ces trois droites et soit E ∈ ]AC[. D'après le postulat d'Euclide (Axiome Α 4 ) appliqué dans le plan P, la droite (ME) ne peut être parallèle à la fois à (AB) et à (BC). Il s'ensuit que (ME) coupe l'une de ces droites, (BC) par exemple en un point que l'on note F. Mais les droites (AB) et (BC) sont aussi contenues dans le plan Q, alors F et E appartiennent au plan Q; il s'ensuit que la droite (FE) est contenue dans Q et que M appartient à Q, et par suite P ⊂ Q. Un raisonnement identique montre que Q ⊂ P. D'où P ≡ Q. 3 2-2-Théorème Une droite ∆ et un point A extérieur à ∆ déterminent un plan. Démonstration : Soit deux points distincts B et C de ∆. Soit P le plan contenant A, B et C (l'unicité de P découle du théorème 2.1) ; tout plan Q contenant A et ∆ contient A, B et C, il coïncide donc avec P d'après le théorème 2.1. (Figure 3) 2-3-Théorème Deux droites concourantes déterminent un plan. Démonstration : Soit ∆ 1 et ∆ 2 deux droites concourantes en O. Soit A et B deux points de ∆ 1 et ∆ 2 autre que O. Soit P le plan passant par O, A et B. Le raisonnement précédent montre que P est le seul plan contenant ∆ 1 et ∆ 2 . (Figure 4) 2-4-Théorème Deux droites strictement parallèles déterminent un plan 4 Démonstration : Soit ∆ 1 et ∆ 2 deux droites strictement parallèles, A et B deux points distincts de ∆ 1 et O ∈ ∆ 2 . Il en résulte que O est distinct de A et de B. Soit P le plan (OAB). Tout plan Q contenant ∆ 1 et ∆ 2 contient O, A et B; il coïncide donc avec P. (Figure 5) Exercices Exercice 1 Soit, P un plan, (ABC) un triangle de P et O un point non situé dans ce plan. Soit M ∈ (AB) et N ∈ (AC). Préciser l'intersection du plan (OMN) et de la droite (BC). Exercice 2 Soit (ABC) un triangle d'un plan P et S un point non situé dans ce plan. Soit α, β, γ les milieux respectifs de [SA], [SB] et de [SC]. 1-Montrer que les plans (ABC) et (αβγ) n'ont aucun point commun. 2-Soit G le centre de gravité du triangle ABC. SG coupe le plan (αβγ) en un point G'. Montrer que G' est le centre de gravité du triangle (αβγ). Exercice 3 Soit P, Q et R trois plans passant par une même droite ∆. Etudier les positions des intersections de ces trois plans avec un quatrième plan Q. Exercice 4 On mène par un point O trois demi-droites Ox, Oy et Oz non situées dans un même plan ; deux plans P et Q parallèles coupe Ox, Oy, Oz en A, B, C et en A', B', C' respectivement. Montrer que les centres de gravité de ces deux triangles sont alignés avec O. 5 Exercice 5 Soit P un plan et S un point. On appellera perspective d'un point M le point d'intersection m de (SM) avec P et perspective d'une figure F la figure f obtenue en prenant les perspectives de ses différents points. 1-A quelle condition un point M a-t-il une perspective ? 2-Démontrer que la perspective d'une droite ∆ non parallèle à P est une droite d qui passe par le point d'intersection de la parallèle à ∆ menée de S avec P. 3-Quelle particularité présentent les perspectives de deux droites parallèles ? 4-Quelle particularité présentent les perspectives de deux droites concourantes ? En déduire la condition nécessaire et suffisante pour que les perspectives de deux droites concourantes soient parallèles. 5-On considère un quadrilatère plan ABCD. Ce quadrilatère et le plan P étant donnés, où doit-on prendre le point le S pour que la perspective de ce quadrilatère soit un trapèze ? cette perspective peut-elle être un parallélogramme ? 6
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