О количестве классов марковских разбиений для гиперболического автоморфизма двумерного тора

Алексей Владимирович Клименко, Alexey Vladimirovich Klimenko
2009 Математический сборник  
УДК 517.938.5 А. В. Клименко О количестве классов марковских разбиений для гиперболического автоморфизма двумерного тора В исследованиях свойств аносовского диффеоморфизма на двумерном торе важную роль играют марковские разбиения, построенные Адлером и Вейссом (R. L. Adler, B. Weiss), и связанные с ними предмарковские разбиения. В работе установлена связь между числом классов простейших предмарковских разбиений заданного диффеоморфизма относительно естественной эквивалентности и цепной дробью
more » ... и и цепной дробью для углового коэффициента неустойчивого направления матрицы, задающей этот диффеоморфизм. Библиография: 7 названий. Ключевые слова: диффеоморфизмы Аносова, марковские разбиения, цепные дроби. Рассмотрим линейный диффеоморфизм Аносова двумерного тора T 2 : Обозначим через λ u,s собственные значения матрицы A, |λ u | > 1 > |λ s |, а через e u,s и L u,s = Re u,s -соответствующие им собственные векторы и подпространства. Адлером и Вейссом [1] была построена символическая модель для таких автоморфизмов. Именно, существуют марковская цепь (Ω M , µ, σ) (понимаемая как ограничение топологического сдвига Бернулли в подходящем пространстве {1, . . . , m} Z на подходящий марковский компакт Ω M , см. [2; § 1.9]) и непрерывное отображение h : Ω M → T 2 , которое полусопрягает сдвиг σ и диффеоморфизм A, переводя инвариантную марковскую меру µ в меру Лебега на T 2 (очевидно, A-инвариантную). При этом обратное отображение является взаимно однозначным и непрерывным всюду, за исключением нескольких полупрямых с иррациональными наклонами. Пусть однозначно задает (если задает) символическую модель (Ω M , µ, σ, h). В конструкции Адлера-Вейсса множества M i являются замкнутыми параллелограммами со сторонами, параллельными собственным направлениям L u и L s матрицы A. При этом следующие условия гарантируют, что соответствующая символическая модель существует и является марковской цепью: 2) для любых i, j множество int A(M i ) ∩ int M j связно (в частности, оно может быть пустым). Назовем такой набор M марковским разбиением для A. (Отметим, что существуют и другие разбиения M , которые задают марковскую модель (Ω M , µ, σ, h). В частности, существует такое разбиение, что соответствующая модель является бернуллиевской; см. [3].) Для любого N существуют диффеоморфизмы вида (1), энтропия которых больше log N . Они не могут обладать марковским разбиением из не более чем N элементов. Тем не менее, для всякого диффеоморфизма вида (1) существует предмарковское разбиение K = {K 1 , K 2 } на два параллелограмма с более слабыми условиями, из которого можно получить марковское разбиение M , взяв в качестве элементов M l замыкания связных компонент множеств int K i ∩ A(int K j )∩ A 2 (int K k ) (если оба собственных значения A положительны, то можно брать замыкания связных компонент int K i ∩ A(int K j )). Прежде чем сформулировать эти условия, докажем следующую лемму.
doi:10.4213/sm7523 fatcat:o65fcab2krctbiuqjqotinrk3i