Invariants d'une désingularisation et singularités des morphismes

Benoît Audoubert, Fouad El Zein, Lê Dung Tráng
2004 Compositio Mathematica  
Let (X, 0) be a germ of an analytic space and f the germ of an analytic function on X. We show that the polar filtration of the local Milnor fiber, defined by a projection on a complex disc, is diffeomorphic to a valuative filtration of the Milnor fiber called Hironaka's filtration, a result which links invariants associated with the singularities of the projection to those associated with a desingularisation. non singulière. On suppose que le lieu singulier de g −1 (0) est inclus dans son
more » ... nclus dans son intersection avec f −1 (0). Ceci nous permettra de trouver une résolution adaptéeà f et g qui induit un isomorphisme en dehors de la fibre spéciale f −1 (0) afin de préserver la fibre de Milnor. Le lieu critique de ϕ sur X \ X s est définià l'aide de la matrice Jacobienne par rapportà un système de coordonnées locales x i pour i = 1à n par la condition sur le rang rg ∂f /∂x 1 , . . ., ∂f /∂x n ∂g/∂x 1 , . . ., ∂g/∂x n 1. On note C(ϕ) le germe d'espace, adhérence dans X du lieu critique de ϕ. On suppose que l'adhérence dans (C 2 , 0) de l'image par ϕ du lieu critique de ϕ est un germe de courbe, noté D(ϕ). Définition. Le discriminant polaire ∆(ϕ) de ϕ est le germe de courbe défini par la réunion des composantes de D(ϕ) différentes des deux axes u = 0 et v = 0. Dans toute la suite, nous supposons l'hypothèse suivante satisfaite : Hypothèse. Le morphisme ϕ est descriptible au sens qu'un représentant bien choisi de ϕ soit une fibration topologique localement triviale au-dessus de l'intersection de C 2 \ (∆(ϕ) ∪ (uv = 0)) avec un voisinage de 0 dans C 2 assez petit. Cette notion mise en relief par les travaux de Thom (voir [LT83] où le terme descriptible est utilisé) n'est pas satisfaite lorsque par exemple ϕ est un morphisme d'éclatement. En se donnant un plongement local de X dans C n , la restriction g d'une projection générique de C n dans C définit avec f un morphisme descriptible qui vérifie les hypothèses précédentes [Le77]. Les nombres polaires Le discriminant polaire ∆(ϕ) se décompose en une réunion de courbes irréductibles ∆ λ , λ ∈ Λ. Chaque composante ∆ λ admet, dans les coordonnés (u, v) de C 2 , un développement de Puiseux v = a λ u r λ + · · · ; r λ ∈ Q, qui commence par l'exposant r λ > 0. Ces nombres sont les nombres polaires de B. Teissier [Tei75] dans le cas où X est non singulier et g est une projection générale. Quand X est un espace singulier quelconque et g est une projection générale, ces exposants permettent de construire la filtration polaire [Le75, Le78]. Remarque. Nous retiendrons les nombres r λ distincts sous la forme d'une suite croissante appelée suite de nombres polaires de ϕ : {r 1 < · · · < r k }. Dans le cas où X est C 2 et g est une forme linéaire générique, on montre [LMW89] que la suite de nombres polaires coïncide avec la suite des quotients d'Hironaka aux points de rupture d'une désingularisation de la courbe f −1 (0), ce qui donne dans ce cas la relationévoquée dans l'introduction entre les singularités de ϕ = (f, g) et certains invariants de la désingularisation. Filtration polaire Considérons ϕ : (X, 0) −→ (C 2 , 0) satisfaisant les hypothèses faites ci-dessus. Soit ∆ λ , λ ∈ Λ les composantes du discriminant polaire ∆(ϕ) de ϕ, admettant des développements de Puiseux de la forme v = a λ u r λ + · · · avec r λ ∈ Q. Choisissons deux nombres A et B tels que A < inf λ∈Λ (|a λ |), B > sup λ∈Λ (|a λ |). Comme r λ > 0, les nombres a λ u r λ convergent vers zéro lorsque u tend vers zéro, avec une vitesse qui dépend de r λ ce qui, pour |u| assez petit, permet d'ordonner dans R + les valeurs suivantes associées
doi:10.1112/s0010437x0300068x fatcat:5fbpnzacgvdkdhsk3wccxl7tum