Fracciones continuas y divisores del número de clases en campos cuadráticos reales [thesis]

Janeth Anabelle Magaña Zapata
A mis papás Juan y Nena, por su cariño, comprensión y su apoyo incondicional. A mis hermanos: Juan, Rigel y Gisseth por ser la motivación para seguir adelante. Agradezco de manera especial al Dr. Mario Pineda Ruelas por aceptarme para realizar esta tesis bajo su dirección, por su paciencia, por sus consejos y su apoyo durante mis estudios de maestría y por haberme dedicado tiempo para elaborar este trabajo. A mis sinodales: Dra. Martha Rzedowski Calderón, Dr. Arturo Cueto Hernández y Dr. Carlos
more » ... nández y Dr. Carlos Signoret Poillon, por sus comentarios y observaciones, las cuales enriquecieron este manuscrito. A mi amigo Alejandro por sus sugerencias y opiniones que me ayudaron bastante para elaborar este trabajo, a mi amigo Henry por su ayuda con el longtable. Sin tí mi vida en el D.F hubiera sido muy triste: Gracias Juan Carlos. A Luis por escucharme, por sus consejos y sobre todo por su amor. A todos mis amigos, gracias por darmeánimos, por estar conmigo en los momentos de alegría y tristeza. Agradezco de manera especial a mis amigos que conocí en la Ciudad de México, por brindarme su amistad y compañía, por hacerme sentir feliz aún no estando en mi tierra. A todos mis profesores y en especial a los de la UAM-I, por ser parte de mi formación académica. A las secretarias del departamento de Matemáticas de la UAM-I y a la maestra Iseo quienes siempre me trataron con amabilidad. A mis tios Mario y Lilí (E. P. D.) y a mis primas, por estar siempre cerca de mis papás y por esa alegría que nos dan cada vez que están en casa. Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología. Cuando esté clara la extensión en la cual estamos trabajando, denotaremos la norma y la traza como N (α) = det(a ij ) y tr(α) = n i=1 a ij . 7 8 1. PRELIMINARES 1.2. CAMPOS DE NÚMEROS Y ANILLOS DE ENTEROS 9 1.2. Campos de Números y Anillos de Enteros El tema principal de esta sección son los anillos de enteros y sus propiedades. Definición 1.2.1. Un númeroálgebraico es un número complejo que es raíz de algún polinomio distinto de cero en Q[x]. Un enteroálgebraico es un número complejo que es raíz de algún polinomio mónico en Z[x]. Proposición 1.2.2. El conjunto de los números algebraicos forman un campo. DEMOSTRACIÓN. Ver [6] página 67, Proposición 6.1.3. Proposición 1.2.3. El conjunto de los enteros algebraicos forman un anillo. DEMOSTRACIÓN. Ver [6] página 68, Proposición 6.1.5. Denotaremos al anillo de enteros algebraicos como Ω. Definición 1.2.4. Un subcampo F de los números complejos, se llama campo de números si [F : Q] es finito. Sea A F = F ∩ Ω. Llamaremos a A F el anillo de enteros algebraicos de F . Observación 1. Ya que [F : Q] es finito tenemos que F/Q es una extensión algebraica, por lo tanto F constaúnicamente de números algebraicos. DEMOSTRACIÓN. Por la Proposición 1.3.8, existe k > 0 tal que I k = (α), para algún α ∈ A F . Como IJ = IK, entonces De ahí que (α)J = (α)K. Sea b ∈ J. Entonces αb ∈ (α)J = (α)K. Así que αb = αc, para algun c ∈ K, de donde b = c. Por lo tanto b ∈ K y entonces J ⊆ K. Análogamente K ⊆ J y así J = K. Proposición 1.3.11. Sean I, J ideales de A F , tal que I ⊆ J. Entonces existe un ideal K de A F con la propiedad de que I = JK. DEMOSTRACIÓN. Por la Proposición 1.3.8, existe k > 0 tal que J k = (β). Luego como I ⊆ J, se tiene que J k−1 I ⊆ J k−1 J = (β). De ahí que 1 β J k−1 I ⊆ A F . Sea K = 1 β J k−1 I. Luego K es un ideal de A F y JK = J 1 β J k−1 I = 1 β (β)I = A F I = I. FACTORIZACIÓN DE IDEALES EN LOS ANILLOS DE ENTEROS
doi:10.24275/uami.rn3011453 fatcat:4fykj7x26fet5oav3q6nywot54