On arithmetical first-order theories allowing encoding and decoding of lists

Patrick Cegielski, Denis Richard
1999 Theoretical Computer Science  
In Computer Science, n-tuples and lists are usual tools; we investigate both notions in the framework of first-order logic within the set of nonnegative integers. Grdel had firstly shown that the objects which can be defined by primitive recursion schema, can also be defined at first-order, using natural order and some coding devices for lists. Second he had proved that this encoding can be defined from addition and multiplication. We show this can be also done with addition and a weaker
more » ... te, namely the coprimeness predicate. The theory of integers equipped with a pairing function can be decidable or not. The theory of decoding of lists (under some natural condition) is always undecidable. We distinguish the notions encoding of n-tuples and encoding of lists via some properties of decidability-undecidability. At last, we prove it is possible in some structure to encode lists although neither addition nor multiplication are definable in this structure. @ 1999 Elsevier Science B.V. All rights reserved. R~sum~ On utilise couramment en informatique les n-uplets et les listes sur un ensemble donn~; nous &udions ces deu× notions dans le cadre de la logique du premier ordre et pour l'ensemble des entiers naturels. G6del a montr~ que les objets d~finis par un schema de r~currence primitive sont d6finissables au premier ordre avec la relation d'ordre et le codage des listes, eux-m~mes d6finissable avec l'addition et la multiplication; nous montrerons que ce codage peut ~galement s'effectuer avec l'addition et un pr6dicat plus faible que la multiplication, fi savoir la coprimarit& On montre aussi que les notions de n-uplets et de listes se distinguent par des arguments de d~cidabilit~-ind~cidabilit& La th~orie des entiers munis d'une fonction de couplage peut-&re -ou non-d6cidable. Par contre la th~orie du d~codage des listes, soumise /tune certaine condition naturelle, est toujours ind~cidable. On montre enfin qu'il existe des structures dans lesquelles on peut coder les listes sans pour autant que l'addition (et donc l'ordre) et la multiplication ne soient d~finissables.
doi:10.1016/s0304-3975(97)00281-8 fatcat:2sajvd6tfvhfpfbksuf5kflxyy