Über die Verteilung der quadratischen Reste

1904 Journal für die Reine und Angewandte Mathematik  
In der Abhandlung "De nexu inter multitudinem elassium, in quas formae binariae secundi gradus distribuuntur, earumque determinantem", die sich in Gauß Werken, Bd. II, befindet, hat Gauß die Formeln aufgestellt für die Verteilung der quadratischen Reste in Oktanten und Zwölftel für beliebige Primzahlen -außer der Verteilung in Zwölftel für die Primzahlen von der Form 4?i+3. Der Beweis ist von Dedekind unter den Bemerkungen zur Abhandlung "De nexu u. s. w. in demselben Bande gegeben, und der
more » ... egeben, und der Beweis zeigt auch, wie man ähnliche Formeln für die Verteilung in Zwölftel für Primzahlen von der Form 4n+ 3 herleiten kann. Wenn P eine positive, ungerade und durch kein Quadrat teilbare Zahl ist, so werden wir mit C 17 C 2 , C 3 , C 5 , C 6 u. s. w. die Anzahl der nicht eigentlich äquivalenten eigentlich primitiven Formen für die Determinanten -P, -2P, -3P, -5P, -6P u.s.w. bezeichnen. Mit S? bezeichne ich (^), setze also S? = (~), wo s r alle ganzen P P Zahlen durchlaufen muß, welche zwischen (r-1)-und r-liegen. Die Zahlen s r im Komplex stimmen mit den Zahlen (P-v_ r+1 ) i pK omplex überein. Fol glich ist S? = (-p~) Sn-r+i-Daraus folgt, daß man nur die ersten n oderC^+l) der Zahlen >S; berechnen muß. Die Verteilung der quadratischen Reste in Oktanten ergibt sich aus folgenden Formeln: oder C,
doi:10.1515/crll.1904.127.1 fatcat:ld5otu4zpbagnmjcic65slatzm