Une des définitions possibles des polynômes de Catalan multiples est la suivante : en appelant c(x) la fonction génératrice des nombres de Catalan, c(x) = 1 + x + 2x 2 + 5x 3 + 14x 4 + · · · , le polynôme de Catalan k-uple P (m 1 , m 2 ,. .. , m k ; u) est le coefficient du monôme x m 1 1 x m 2 2 · · · x m m m dans le développement de (1 − x 1 c(x 1) − x 2 c(x 2) − · · · − x k c(x k)) −u−1. Son degré en u est m 1 + m 2 +. .. m k. Les polynômes de Catalan simples et doubles (k = 1 et k = 2) ont

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... ait l'objet d'uné etude détaillée, ' a paraˆıtreparaˆıtre dans le "Journal Européen de Combinatoire". En particulier leurs zéros sont des entiers négatifs distincts. Pour k ≥ 3, on peut démontrer les propriétés suivantes : 1*) Les zéros de P (m 1 , m 2 ,. .. , m k ; u) continuent d'ˆ etre des réels négatifs distincts, mais ne sont plus nécessairement entiers. 2*) Si aucun des m i n'est nul, les entiers −1, −2,. .. , −k se trouvent parmi les zéros. 3*) Sous la même condition m 1 m 2 · · · m k = 0, on peut poser m i = r i + 1 et faire le changement de variables v = −k − 1 − u. Les r 1 + r 2 + · · · + r k zéros de P (m 1 , m 2 ,. .. , m k ; u) autres que −1, −2,. .. , −k sont alors donnés par ceux d'un polynôme Q(r 1 , r 2 ,. .. , r k ; v) dont les coefficients se calculent par une r' egle de convolution simple. 4*) Les zéros du polynôme Q(r 1 , r 2 ,. .. , r k ; v), dont le degré est d = r 1 + r 2 + · · · + r k , sont non seulement réels et distincts, mais en outre appartiennent tous au segment [0, 2d]. Si l'on a de plus r 1 > r 2 + r 3 + · · · + r k , r 1 − r 2 − r 3 − · · · − r k d'entre eux sont les entiers du segment [d + 1, 2r 1 ]. 5*) Dans le cas particulier o' u r 1 = r 2 = · · · = r k = 1, on peut poser Q(1, 1,. .. , 1; v) = Q k (v). On a alors Q k (v) = k i=0 (−2) i k i (v) k−i , 1