Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. (Zweiter Aufsatz.) u FF, I,Ix KI.sIN in ERr.ASOEN. Die nachstehendea Auseinandersetzungen sehliessen sieh an einen frCiheren Aufsatz fiber denselben Gegenstand (diese Annalen IV, 4) an und sind bestimmt, einige dor~ nur nugedeutete Punkte waiter auszufiihren. Es gait mir damals haupts~iehlich, in mSgliehst an_ schaulicher Weise darzulegen, wie Cayl e y's projectivische Massbestimmung in Ebene und Raum ein ~quivalentes Bild flit die Lehren der

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... ht-Euklidischen Geometrie ergiebt. Ich durfte hoffen, letztere dadureh einem allgemeinen Verst~ndnisse zug~nglieher gemaeh~ g]eiehzeitig abet aueh Ausgangspunkte fiir weRere Untersuehungen gewonnen zu haben. In letzterem Betracht hatte ich nut angedeutet, wie die vorgetragenen geometrischen Ueberlegungen fiir Mannigfaltigkeiten yon beliebig vielen Dimensionen zn verwerthen seien. Ich hatte ferner die Ansicht entwickelt, dass man in iihnlicher Weise, wie v. Staudt, die projeetivische Geometrie aufbauen k~nne, auch ohne fiber das Parallelenaxiom etwas festzusetzen. Es sind hauptsiichlich diese beiden Punkte, welehe jm Folgenden im Sinne des damaligen Aufsutzes, abet in der fortentwiekeRen Form, die sic inzwischen bei mir gewonnen haben, dargelegt werdea sollen. Wean ich dabei oft weiter aushole und gelegentlieh vielleieht e~was weRliiufig w~trei so trieb reich dazu der Wunseh, mSgliehst verst~indlieh zu sehreiben und dadurch yon vorneherein Zweifel an der Richtigkeit; der Bekraehtung zu beseitigen, welehe sich bei so abstracten Gegenstiinden nur zu leicht aufdr'~ngen. Zugleich mSgen denn dadureh die Bedenken entfernt werden, welehe mir von versehiedenen Seiten her hinsiehtlich meiner friiheren Arbeit ge:fiussert worden sind. Die nachs~ehenden Untersuehungen sind wie die damaligen rein mathematischen Inhaltes. Es bleiben ihnen also durehaus die Fragen fern, welche Vortheile aus den bez[iglieben mathematisehen Resultaten f~ir die Raumanschauung oder iiberhaupt die Naturerkenntniss gewonnen @erden kSnnen. Abet es ist vielleicht nieht ~iberfliissig, nach Die Nicht.Enldidischc Geometrie.