We study two-dimensional foliations on four-manifolds and examine properties of their closed leaves. After considering the general case of smooth foliations, we focus on foliations with symplectic leaves and then on symplectic pairs. In both cases certain restrictions on the underlying distributions and on the closed leaves of such foliations are derived. We further study the geometry of characteristic classes of surface bundles with and without flat structures. For general surface bundles we

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... ow that the MMM-class are hyperbolic in the sense of Gromov and deduce certain restrictions on the topology of bundles under the assumption that the base is a product or that the bundle is holomorphic. We further consider characteristic classes of flat bundles, whose horizontal foliations have closed leaves and compute the abelianisation of the diffeomorphism group of a compact surface with marked points. When the foliations have a transverse symplectic structure, we show the non-triviality of certain derived characteristic classes in leaf-wise cohomology. For bundles with boundary we show that there is a relationship between the geometry of a flat structure and the topology of the boundary. We also introduce the relation of symplectic cobordism amongst transverse knots. Specialising to the case of symplectic concordance we produce an infinite family of knots that show that this relation is not symmetric, in stark contrast to its smooth counterpart. Zusammenfassung Wir beschäftigen uns mit zwei-dimensionalen Blätterungen auf Viermanigfaltigkeiten und untersuchen die Eigenschaften ihrer abgeschlossenen Blätter. Nachdem wir den Fall von glatten Blätterungen betrachtet haben, konzentrieren wir uns auf Blätterungen mit symplektischen Blättern und anschließend auf symplektische Paare. Für diese beiden Fälle zeigen wir, dass die zugrundeliegenden Distributionen und abgeschlossenen Blätter solcher Blätterungen gewissen Beschränkungen unterliegen. Weiterhin untersuchen wir die Geometrie der charakteristischen Klassen von Flächenbündeln mit und ohne flache Strukturen. Für allgemeine Flächenbündel zeigen wir, dass die MMM-Klassen hyperbolisch im Sinne von Gromov sind. Unter der Annahme, dass die Basis ein Produkt oder das Bündel holomorph ist, leiten wir außerdem gewisse Einschränkungen an die Topologie solcher Bündel her. Des weiteren behandeln wir charakteristische Klassen flacher Bündel, deren horizontale Blätterungen abgeschlossene Blätter besitzen und berechnen die Abelianisierung der Diffeomorphismengruppe einer kompakten Fläche mit markierten Punkten. Wenn die Blätterungen eine transversale symplektische Struktur aufweisen, zeigen wir, dass gewisse sekundäre charakteristische Klassen in der blattweisen Kohomologie nicht trivial sind. Für Bündel mit Rand leiten wir eine Beziehung zwischen der Geometrie einer flachen Struktur und der Topologie des Randes her. Schließlich führen wir die Relation des symplektischen Kobordismus für transversale Knoten ein. Im Spezialfall der symplektischen Konkordanz zeigen wir mittels einer unendlichen Familie von Knoten, dass diese Relation im Gegensatz zur glatten Konkordanz nicht symmetrisch ist. A Five-term exact sequences 123 Bibliography 127 1.2. Surface bundles and their characteristic classes 1.3. Flat surface bundles 1.5. Characteristic classes of symplectic foliations 20 2. Distributions and leaves of foliations Finally, we apply the Hirzebruch Signature Theorem and use the fact that c 1 (M ) reduces to w 2 (M ) in mod 2 cohomology. Conversely, if we have solutions e 1 , e 2 , then we set These classes satisfy the hypotheses of Proposition 2.2.4 and hence we have distributions ξ, ξ ⊥ , whose Euler classes e 1 , e 2 satisfy: and the classes e i and e i agree modulo 2-torsion. Using the distribution equations above one may give necessary and sufficient conditions for the existence of distributions in terms the Euler characteristic and signature of M . In particular, the existence of a smooth foliation only depends on the homotopy type of M . The following result goes back to Atiyah and Saeki (cf. [Mats]). Proposition 2.2.8 (Existence of distributions). Let M be an oriented 4-manifold with indefinite intersection form, then M admits a distribution if and only if σ(M ) ≡ 0 mod 2 and χ(M ) ≡ σ(M ) mod 4. Proof. By Proposition 2.2.6 it suffices to find characteristic elements K + , K − ∈ H 2 (M ) for the intersection form such that: By the Theorem of van der Blij (see [MH], p. 24), if K is characteristic for the intersection form, then the following holds: So a necessary condition for a solution of (2.2) is that σ(M ) ≡ ±2χ(M ) + 3σ(M ) mod 8 ⇐⇒ 2χ(M ) ≡ ±2σ(M ) mod 8 ⇐⇒ χ(M ) ≡ ±σ(M ) mod 4 ⇐⇒ χ(M ) ≡ σ(M ) mod 4 and σ(M ) ≡ 0 mod 2. Next we claim that Σ = {K 2 | K is characteristic} = σ(M ) + 8Z, which means that if σ(M ) ≡ ±2χ(M ) + 3σ(M ) mod 8, then this is sufficient for the existence of a solution of (2.2). We assumed that M has indefinite intersection form, thus by