### VON INVERSEN OPERATOREN ERZEUGTE EINPARAMETER-HALBGRUPPEN

Egon Scheffold
2004 Demonstratio Mathematica
Let E be a Banach space and let T be a singular bounded linear operator on E with (-00,0) C e (T) and ||Ä(a 1 7y^T n || < C for all a < 0 and n 6 N. We show that T is injective on T(E) and that the operator -T _1 generates a Cosemigroup on T(E). The following examples axe considered: 1. Normal operators T on Hilbert spaces with Re(cr(T)) C [0,00]. Positive multiplication operators and averaging Markov operators on C(K). Certain positive integral opertors on C[a, b]. Die folgende Arbeit ist
more » ... nde Arbeit ist motiviert durch das offene Problem: Sei T ein positiver Reynoldsoperator auf C(K). Ist dann T auf der abgeschlossenen Hülle seines Wertebereiches injektiv? Erzeugt dann dort die Abbildung -T -1 eine Einparameter-Halbgruppe (s. Satz 9)? Folgerungen aus gewissen Resolventeneigenschaften Ist E ein Banachraum über C, so bezeichnen wir mit L(E) die Banachalgebra der beschränkten Endomorphismen von E. Für S € L(E) sei cr(5) das Spektrum, ß(S) die Resolventenmenge und R(X, S) := (XI -S) -1 die Resolventenabbildung von S, wobei I die Identität auf E ist. Für T G L(E) sei im folgenden F := T(E). Die erste Aussage befaßt sich mit der Injektivität eines Operators auf dem Abschluß seines Wertebereiches. SATZ 1. Es sei E ein Banachraum und T ein singulärer, beschränkter Endomorphismus von E mit den beiden Eigenschaften: (i) Es gibt ein a > 0 mit (-a, 0) C g(T) und (ii) \\TR(a,T)\\ < C für alle a € (-a,0).