Le present M~moire est eonsacr~ h l'~tude de certaines ~quations int~grales, d'un type qui g~n~ralise le type classique de FREDHOLM, ~. savoir des ~quations de la forme b fD (x)/(x) + t [[ (x) --/ (a)] N (x, 8)d~ = ~(x) ~4 ou mieux b (~) ] (x) + J/(8) N (x, 8) d8 = ~ (x). A La fonction inconnue est ! (x), et le noyau N (x, s) pr~sente pour 8 ~ une dis-K continuit6 polaire, il devient infini comme --~, K ~tant une constante. Dans le seconde ~criture, l'int~grale est consid~r~e comme ~gale ~ sa

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... leur principale au sens de CxUCHY. Des ~quations de cette nature se rencontrent dans diverses questions d'Hydrodynamique que j'expose ailleurs (cf. Comptes-Rendus Acad. se. Paris, 6 janvier ~9~, t. ~56, p. 58) et pour lesque]ies il ~tait souhaitable d'obtenir la solution effective des ~quafions propos~es, sous une forme utilisable. Dans ce qui suit, j'expose la solution de divers probl~mes ~ desquels je d~-Certains de ces probl~mes prennent leur point de d~part dans la d~termination d'une fonction analytique dans une aire annulaire, par diverses donn~es aux fronti~res (pattie r~elle, partie imaginaire, etc.). J'ai indiqu~ d~j~ (Circolo mat. di Palermo, I912. p. 134/I75. Comptes-Rendus, r 3 mars Igxl, 4 sept. I9II. Xenia, Hommage international ~ l'Universit~ de Grace, Ath~nes, I912, p. 359/38o) plusieurs r~sultats sur cos questions. Dans un beau M~moire (Circolo mat. di Palermo, i913, 2brae Sere. p. 1/28) M. U. DIN1 est rovenu, d'ailleurs d'une mani~re tr~s g~n~rale et d'un point de vue different, sur le m~me ordre de sujets. 102 Henri Villat. duis ensuite la solution, sous forme simple et par une vole indirecte, de certaines 6quations int6grales particuli6res, de la forme indiqu6e, --et dans lesquelles rentrent justement eelles qui se sont pr6sent6es dans les questions d'Hydrodynamique auxquelles je faisais allusion plus haut (ou du moins on peut ramener eelles-ci eelles-lk sans difficult6). En terminant, je fais voir qu'en utilisant une transformation de NI. D. Hm-BERT, on peut, dans des eas g6n6raux, otk rentrent les 6quations 6tudi6es ant6rieurement, ramener les 6quations int6grales en question, k des 6quations de FR~.DHOLM. Mais par ees eonsid6rations il serait extr6mement difficile, pour ne pas dire impossible, de retrouver sous la m6me forme simple les r6sultats expos6s dans ee Travail. Le r6sum6 d'une partie de ee M6moire a 6t6 communiqu6 h l'Acad6mie des Sciences, le z3 oct. i9iz. PREMIERE PARTIE. w I. Nous commencerons par rappeler, au sujet d'une fonction analytique dans un cercle, certaines propri6t6s qui nous seront utiles par la suite, et qui sont pour la plupart d6j~ eonnues; aussi passerons-nous rapidement sur ces propri6t6s. On salt (cf. SCHWARTZ, Zur Integrat. der partieUen Differentialgleiehung Au~o, Jnal de Crelle, I872 , p. 218; T. BOG(]IO, Sulle funzioni di variabile complessa, R. Aecad. di Torino, 47 (z9Iz); H. VILLAT, Bulletin de la Soc. MathSm. 39 (z9zz), P. 443) que dans un cerele de rayon un ayant pour centre l'origine du plan z = x -t-iy, une fonction analytique r6guli~re dont la partie r6elle prenne la fronti~re les valeurs ](0), est 6gale, h une eonstante imaginaire pure, pros, s Plus pr6cis6ment, on salt (eft P. FATOU, S6ries trigonomfitriques, Acta Mathematiea, 30, i9o6, p. 335) que si ](0) est une fonetion p6riodique, de p6riode 2r~, born6e et sommable (au sens de LEBESGUE) la partie r6elle de l'expression ci-dessus tend vers ](0) lorsque le point z tend vers le point e ~0 en suivant le rayon qui y aboutit. I1 ne peut y avoir exception que pour des points de la 2 l'int6grale ayant son sens ordinaire, et la fonction g(O) satisfera k une condition de m~me sorte (FATou, p. 36r). Comme l'a montr~ L. LICtrrE~rSTEIN (Journal de Crelle, z4z, r912, p. z2/4z), si J (0) est int~grable, et qu'il en soit de meme de son carrY, la fonction g (0)est bien d~termin~e, sauf peut-~tre pour un ensemble, de mesure nulle, de points de la circonf~rence fronti~re; dans l'intervalle o, 2~. Si l'on pose et cette fonction est intdgrable, ainsi que son earrd, Z ~ Qe tO la d6riv~e partielle ~ existe k l'int~rieur de la circonf~rence de rayon i; on en u~ Acta mathsmatlea. 40..Imprim6 lo 24 juillot 1915.