in Schlog Bischofstdn (Bez. Erfurt). Einleitung. Die Methode der modernen Geometri% eine Eigenschaft eines r~umlichen Gebildes dadurch zu charakterisieren~ da$ man die Gruppe der Transfbrmationen angibt: denen gegeniiber sie invariant bleibt~ sell in der vorliegenden Arbeit auf die im Sinne yon Herrn L eb e sg u e verstandene M o 13 b a r k eit yon Punktmengen angewendet werden. Die Megbarkeit ist eine Eigenschaft yon grol3er Allgemein-heit~ wie aus S~tzen wie denen: dal] alle abgesehlossenen

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... d alle offenen Punktmengen und Durchschnitte nnd Vereinigungsmengen endlich and abzahlbar unendlich vieler megbaren Mengen megbar sind~ hervorgeht. Dal3 ferner die ~r nicht die A u s d eh-nung~ sondern die S t r u k t u r der Panktmenge betrifft~ erkennt man daran~ dal3 man den Begriff der Megbarkeit auch auf Mengen yon unendlichem ~ul~eren Mal~ tibertragen kann~ ohne dal3 die S~tze der erw~hnten Art aufhSren gultig zu sein. 2) Ein~ e i n e i n d e u t i g e Abbildung~ welche die mel3bare Meng% in der sie definiert ist, und ihre samtliehen mel~baren Teilmengen in megbare Mengen tiberfi]hrg mSge m e 13 b a r heil3en, a) Von besonderem Interesse werden die s t e t i g en mel3baren Abbildungen sein~ da stetige Abbildungen ohnehin Struktureigenschaften wie Oftenheir und Abgeschlossenheit yon Punktmengen invariant lassen. W~hrend wir fiJr beliebige megbare Abbildungen nur ein notwendiges Kriterium aufstellen werden~ wird es uns gelingen: die Hin-l~nglichkeit dieses Kriteriums far stetige me~3bare Abbildungen zu zeigen und iiberdies noch ein zweites notwendiges und hinreichendes Kriterium far diese Abbildungen aufzuste]len~ das sich besonders in der Theorie der Transformation Lebesguescher Integral% die wir als Anwendung unserer Resultate behandeln werden~ fruchtbar"