Optimization in tensor spaces for data science and scientific computing [thesis]

Gennadij Heidel
2019
In dieser Arbeit betrachten wir die Lösung hochdimensionaler Optimierungsprobleme, welchen eine Tensorstruktur niedrigen Ranges zugrunde liegt. Da die rechnerische Komplexität exponentiell mit der Anzahl der Dimensionen anwächst – dies wird als curse of dimensionality ("Fluch der Dimensionalität") bezeichnet – stellen sie eine beträchtliche rechnerische Herausforderung dar und hören bereits für moderate Problemgrößen auf handhabbar zu sein. Multilineare Algebra und numerische Methoden für
more » ... Methoden für Tensoren haben eine Reihe von Anwendungen in den Gebieten von Data Science und des wissenschaftlichen Rechnens. Da praktische Probleme typischerweise eine hohe Dimension haben, sind effiziente Methoden, die Niedrigrangstrukturen ausnutzen, von essentieller Bedeutung. In dieser Arbeit betrachten wir jeweils eine Anwendung in diesen beiden Gebieten. Tensorvervollständigung, oder Imputation unbekannter Werte in teilweise bekannten mehrdimensionalen Datensätzen ist ein wichtiges Problem in der Statistik, der mathematischen Bildverarbeitung und in Data Science. Wenn man Redundanz der zugrundeliegenden Daten annimmt, ist es möglich, Verfahren der mathematischen Optimierung für dieses Problem anzuwenden. Da Tensoren festen Ranges eine Riemann'sche Mannigfaltigkeit des umgebenden hochdimensionalen Tensorraums darstellen, ist die Riemann'sche Optimierung der natürliche Rahmen für die Behandlung dieser Probleme, der sowohl mathematisch rigoros als auch rechnerisch effizient ist. Wir stellen ein neuartiges Riemann'sches Trust-Region-Verfahren vor, welches dem Vergleich mit dem neuesten Stand der Forschung für ausgewählte Anwendungen standhält sowie eine Verbesserung bekannter Methoden für einige Testprobleme bietet. Optimierungsprobleme mit partiellen Differentialgleichungen als Restriktion stellen ein Gebiet des wissenschaftlichen Rechnens dar, welches Anwendungen in zahlreichen Gebieten hat, von der Physik bis hin zur Finanzmathematik. Da Optimierungsprobleme, die von Differentialgleichungen herrühren, inhärent hohe Dimension haben, stel [...]
doi:10.25353/ubtr-xxxx-77fe-6e9a fatcat:fm6m3o3dtnb27b5uey2yskkcnu