Substantive provisions of Numeral-analytical boundary elements method

V.F. Orobey, N.G. Suryaninov
2011 Magazine of Civil Engineering  
Инженерно-строительный журнал, №4, 2011 РАСЧЕТЫ Оробей В.Ф., Сурьянинов Н.Г. Основные положения численно-аналитического варианта МГЭ Основные положения численно-аналитического варианта МГЭ Д.т.н., профессор В.Ф. Оробей; Д.т.н., профессор Н.Г. Сурьянинов*, Одесский национальный политехнический университет Ключевые слова: метод граничных элементов; метод конечных элементов; функция Хевисайда; задача Коши; сплайн-функция; фундаментальные функции Большинство задач строительной механики, связанных с
more » ... ханики, связанных с исследованием напряженнодеформированного состояния конструкций и их элементов, сводится, как правило, к одному или нескольким дифференциальным уравнениям. Точные решения этих уравнений, или решения в замкнутом виде, удается получить далеко не всегда. В остальных случаях точные решения либо принципиально невозможны (когда граничные условия или условия на контуре нельзя выразить в аналитической форме), либо приходится сталкиваться с таким объемом вычислений, что получение аналитических решений становится нецелесообразным. В связи с этим при решении многих практических задач давно используются приближенные методы исследования. Эти методы можно разбить на две основные группы [1, 2, 3]. К первой группе относятся вариационные методы, применение которых позволяет получить численные алгоритмы и приближенные аналитические выражения искомых функций (напряжений, перемещений, внутренних усилий и др.). Вторую группу составляют численные методы, при использовании которых определяются значения искомых функций при тех или иных значениях аргументов. Как известно, в настоящее время наиболее разработанным численным методом является метод конечных элементов (МКЭ). Этот метод является мощным средством решения задач не только строительной механики, но и целого ряда других дисциплин: гидрогазодинамики, теплотехники, электротехники и т.д. Основные концепции МКЭ были разработаны достаточно давно, однако по-настоящему реализовать все его возможности удалось с появлением последних поколений компьютерной техники, обладающей большими объёмами памяти для выполнения и хранения значительного количества вычислений, а также хорошим быстродействием. Количество компьютерных программ, реализующих метод конечных элементов, исчисляется десятками, если не сотнями. Среди них отметим таких гигантов, как ANSYS, CosmosWorks, ABAQUS, NASTRAN, Mechanical Desktop, SCAD Structure [4]. Наиболее серьёзной проблемой МКЭ, очевидно, следует считать проблему сходимости полученного решения, оценку погрешности, связанной с дискретизацией исходной геометрической модели. Помимо этого, у метода существует еще целый ряд существенных недостатков -искусственное ограничение области расчета, дискретизация окружающего пространства, выполнение новой дискретизации при изменении положения элементов. Анализ литературных источников показывает, что к настоящему времени ресурсы совершенствования МКЭ практически исчерпаны. Это подчеркивает актуальность разработки новых, более эффективных, чем МКЭ, численных методов, а также реализующих их программных комплексов, позволяющих более экономично использовать вычислительные ресурсы и гарантировать эффективное решение многовариантных задач анализа и проектирования. Поиск альтернативных подходов привёл к появлению нового метода, а точнее, методов граничных элементов (МГЭ). Здесь дискретизации подвергается не вся рассматриваемая область, как в методе конечных элементов, а только её граница. Хотя эта концепция и является общей для всех МГЭ, принято различать прямой вариант МГЭ, полупрямые варианты и непрямые. Авторами статьи предложен и разработан новый вариант МГЭ, который получил название «Численноаналитический метод граничных элементов» [1, 5, 6]. Это направление в развитии методов граничных элементов имеет целый ряд преимуществ [5] по сравнению с классическими вариантами МГЭ, разработанными в трудах Бенерджи и Баттерфилда [7], Бреббиа, Толлеса и др. [2, 8]. Метод состоит в разработке фундаментальной системы решений (аналитически) и функций Грина (также аналитически) для каждой рассматриваемой задачи. Для учета определенных граничных условий, или условий контакта между отдельными модулями (так мы называем отдельный элемент системы) составляется небольшая система линейных алгебраических уравнений, которую необходимо решать численно. Многие ученые и, в первую очередь, «чистые» математики, считают, что правильнее было бы называть этот метод аналитическим, а не численно-аналитическим, т.к. все основные операции сводятся к аналитическим преобразованиям, а объем вычислительной работы на заключительном этапе не превышает обычного для других аналитических подходов объема. 33 CALCULATIONS Magazine of Civil Engineering, №4, 2011 Оробей В.Ф., Сурьянинов Н.Г. Основные положения численно-аналитического варианта МГЭ
doi:10.5862/mce.22.6 fatcat:e3muqlq7qzb25ov2tiwbv5oxoy