Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка вул. Драгоманова, 50, 79005, Львiв, Україна (Отримано 4 лютого 2010 р.; в остаточному виглядi 14 лютого 2011 р.) У статтi показано, що незворотну еволюцiю класичного клiткового автомата можна реалiзувати за допомогою квантового алґоритму при використаннi додаткових квантових реґiстрiв анцил. Запропоновано алґоритм аналiзу станiв клiткового автомата, який базується на елементах алґоритму Ґровера iнверсiї амплiтуди шуканого стану та

more »

... перетворення iнверсiї вiдносно середнього. Iнверсiя амплiтуди шуканого стану здiйснюється за допомогою квантового логiчного елемента Тоффолi. Ключовi слова: квантовий комп'ютер, квантовий алґоритм, клiтковий автомат. PACS number(s): 03.67.Lx, 03.67.−a ВСТУП Одним iз перспективних напрямкiв розвитку обчислювальних алґоритмiв поряд iз тюринговим програмуванням є використання клiткових автоматiв. Клiтковий автомат (КА) складається iз системи комiрок (клiток), якi утворюють логiчну ґратку [1] . Стан кожної комiрки в деякий дискретний час характеризується деяким значенням змiнної, яка є функцiєю станiв локальних сусiднiх комiрок. Стан ґратки змiнюється за законом, який визначається правилами переходiв клiткового автомата. Змiна стану називається iтерацiєю. Системи, побудованi на машинi Тюрiнґа, складаються з незмiнної активної частини, яка виконує алґоритмiчнi операцiї, та пасивної областi даних. Клiтковi автомати, на вiдмiну вiд машин Тюрiнґа, мiстять елементи, якi одночасно вiдiграють як активну роль, виконуючи обчислювальнi операцiї, так i пасивну роль змiнних даних. Обчислювальна система на клiткових автоматах може оперувати власною структурою, змiнюючи та розширюючи її. Цiкавою властивiстю клiткових автоматiв є здатнiсть при певних правилах переходiв ґенерувати самовiдтворювальнi структури. Очевидно, що для деяких алґоритмiв використання клiткових автоматiв може бути набагато ефективнiшим, нiж використання машини Тюрiнґа внаслiдок бiльшої кiлькостi працюючих активних елементiв. У структурi клiткових автоматiв можна видiлити множину клiток для вхiдних та вихiдних даних. Установлюючи наперед заданi правила переходiв, можна реалiзувати тi чи iншi алґоритми перетворення вхiдних даних. Однак, це непросто внаслiдок дуже складної поведiнки клiткових автоматiв навiть при простих правилах переходiв. Як приклад, можна згадати гру "Життя", що запропоновав Дж. Конвей, яка на двовимiрнiй клiтковiй ґратцi моделює еволюцiйний розвиток умовної популяцiї. Тому актуальним є вивчення еволюцiї клiткового автомата з метою добору правил переходiв для заданого алґоритму. Останнiм часом активно розвивається теорiя квантових обчислень. Розроблено ряд квантових алґорит-мiв, якi дають суттєве прискорення розв'язку деяких задач унаслiдок квантового паралелiзму [2, 3] . Перспективним є використання квантових алґоритмiв для аналiзу еволюцiї клiткових автоматiв з метою добору ефективних правил переходiв. Квантовi клiтковi автомати (ККА) розглядають у багатьох роботах. У [4] описано ККА для унiверсальних квантових обчислень. У [5, 6] дослiджено одномiрнi ККА. В [7] розглядається формалiзм ККА ґратки кубiтiв. У [8, 9] дослiджуються зворотнi ККА. У [10,11] подано огляд дослiджень ККА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI Мета роботи полягає в розробцi квантових алґоритмiв, якi, використовуючи квантовий паралелiзм, зможуть розрахувати при заданих правилах переходiв усi еволюцiї клiткового автомата одночасно. Це дасть змогу дослiдити, чи утворюються при цих правилах переходiв кiнцевi структури з наперед заданими характеристиками. В класичному випадку для цього потрiбно провести послiдовний розрахунок усiх можливих еволюцiй КА, що може бути нездiйсненним через експоненцiйно великий обсяг обчислень щодо логiчних розмiрiв КА. ОДНОВИМIРНI КВАНТОВI КЛIТКОВI АВТОМАТИ Ураховуючи складнiсть багатомiрних та багатостанових КА, розгляньмо такi одновимiрнi клiтковi автомати, коли кожна клiтка може перебувати лише у двох станах. Сусiднi три клiтки можуть перебувати у 8 рiзних станах, що утворює 2 8 = 256 правил переходiв клiтки в новий стан на наступнiй iтерацiї. При чотирьох можливих станах таких правил може бути вже 2 64 . Розгляньмо квантовi логiчнi елементи, на основi яких можна побудувати одновимiрний клiтковий 3001-1