10. Entwicklung der Modular-Integrale oder der elliptischen Transcendenten aller Arten nach Potenzen des Moduls, nach Functionen der Amplitude und nach neuen Functionen des Parameters; sammt einer Theorie dieser neuen Functionen. (Von Herrn Dr. Chr.. Gudermann^ ord. Prof. der Mathematik an der Universität zu Münster.) Vorbemerkung. Wird die Theorie der Modular-Functionen und der Modular-Integrale in der Geometrie oder in der Mechanik angewandt, und werden, wie es nicht selten ist, die

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... n Gröfsen durch Modular-Integrale ausgedruckt, so sind, aufser dem Modul der Functionen, auch die Amplituden des Arguments und des Parameters, sammt den Amplituden ihrer Complemente bekannt, oder können aus ändern gegebenen Gröfsen leicht berechnet werden. Nicht selten sind diese Amplituden sogar Winkel, welche durch die Construction nachgewiesen werden können. Daher stellt sich dann die unabweisbare Aufgabe dar, die gefundenen Integrale aus den genannten Moduln und Amplituden unmittelbar zu berechnen. Im vierten, achten und zwölften Abschnitte meiner Theorie der Modular-Functionen und der Modular-Integrale ist allerdings schon ein zweifaches, oder wenn man will, sogar ein vierfaches Verfahren der Berechnung aller Modular-Integrale aus dem Modul und den Amplituden auseinandergesetzt, wobei aufser den logarithmischen Tafeln auch die Tafeln der cyklischen und hyperbolischen Potential-Functionen zur Anwendung kommen; aber bei diesem Verfahren werden die Integrale nicht unmittelbar durch die gegebenen Gröfsen ausgedrückt. Im zehnten und achtzehnten Abschnitte des genannten Werks sind daher Reihen entwickelt worden, welche dazu dienen, die gesuchten Integrale unmittelbar aus den gegebenen Gröfsen zu berechnen. Ein weiteres Nachdenken über die im achtzehnten Abschnitte gefundenen Resultate ist von dem glücklichsten Erfolge gewesen. Die Modular-Integrale zweiter Art (die von Ändern sogenannten elliptischen Integrale oder Transcendenten dritter Art) sind ausgedrückt worden durch die bekannten Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLI. Heft %. 13 Brought to you by |