Изучение центральных единиц (центральных обратимых элементов) целочисленных групповых колец конечных групп почти всегда приводит к трудоемким вычислениям, как в случае нахождения отдельных центральных единиц, так и при описании групп центральных единиц. В силу того, что периодическая часть групп тривиальна (с точностью до знака это элементы центра группы), более интересно нахождение сведений о части без кручения, которая является прямым произведением бесконечных циклических групп. Число таких

more »

... сконечных прямых сомножителей ранг группы центральных единиц. Поэтому ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец конечных групп одна из важнейших характеристик таких групп. Поэтому вычисление рангов групп центральных единиц представляет большой интерес при изучении групп центральных единиц. В работе приведены формулы для вычисления рангов в общем случае и в нескольких важнейших частных случаях. На основании этих формул произведены вычисления рангов в достаточно широких диапазонах. Для вычислений использовалась система компьютерной алгебры GAP. Результаты вычислений показываются в таблицах и на графике. Ключевые слова: характер группы, центральная единица, ранг абелевой группы, система GAP. Введение В России (и ранее в СССР) работы по вычислительным аспектам алгебры и теории чисел не часты. Авторы не могут надеяться, что данная статья заполнит образовавшуюся лакуну, но могут надеяться, что возникнет интерес к подобным направлениям исследований. В 2014 г. исполнилось ровно 25 лет, как первый из авторов начал заниматься центральными единицами целочисленных групповых колец. Почти с самого начала стало ясно, что это направление исследований часто приводит к таким вычислениям, которые невозможно проделать вручную, и приходилось их выполнять на компьютерах. В дальнейшем неоднократно производились различные вычисления по данной тематике, некоторые из которых вошли, как существенная часть в [2]. Далее под центральной единицей будет всегда (если не оговорено противное) пониматься центральная единица (центральный обратимый элемент) целочисленного группового кольца конечной группы. Среди задач, связанных с центральными единицами выделим задачу об нахождении рангов групп центральных единиц. Напомним, что под рангом конечнопорожденной абелевой группы понимается число бесконечных прямых сомножителей при разложении группы в прямое произведение циклических подгрупп. Группы центральных единиц конечнопорождены, поэтому ранг является важной необходимой характеристикой группы центральных единиц, так как периодическая часть всегда тривиальна (равна −1 × Z(G)) [10]. В этой работе будем рассматривать вопросы, связанные с вычислениями рангов групп центральных единиц. Статья организована следующим образом. В первом разделе приводятся формулы для вычисления рангов групп центральных единиц, как общие так и для Вычислительная математика 2015, т. 4, № 1 71