Resum: La teoria dels grafs aleatoris tracta de les propietats asimptòtiques dels grafs dotats d'una determinada distribució de probabilitat; per exemple, estudia com evoluciona l'estructura de les components d'un graf aleatori uniforme a mesura que el nombre d'arestes augmenta. Des de l'inici de la teoria dels grafs aleatoris, formulada per Erd˝ os i Rényi fa més de cinquanta anys, s'han introduït i estudiat diversos models de grafs aleatoris. Mentrestant la teoria de grafs s'ha anat obrint

more »

... í en altres ciències com una font molt rica de models per a descriure aspectes fonamentals d'un ventall molt ampli de fenòmens de gran complexitat. Aquest article és una introducció a la teoria dels grafs aleatoris i els seus progressos recents (amb èmfasi en la transició de fase i els fenòmens crítics, un tema favorit del primer autor) i a les aplicacions d'aquesta teoria. Es tracta d'una versió ampliada de l'article «Random graphs: from nature to society to the brain» [35] publicat al Seoul Intelligencer, un número especial del Math. Intelli-gencer, editat en ocasió del Congrés Internacional de Matemàtics que va tenir lloc a Seül l'any 2014. Paraules clau: component gegant, transició de fase, teoremes límit, grafs aleatoris. Classificació MSC2010: 05C80, 05C65. 1 Grafs aleatoris d'Erd˝ os-Rényi 1.1 El començament Erd˝ os i Rényi van iniciar la teoria dels grafs aleatoris en el seu article «On random graphs I.» [26], publicat el 1959, en el qual van considerar, entre altres qüestions, el problema de trobar la probabilitat que un graf aleatori sigui connex, i la probabilitat que la component més gran d'un graf aleatori cobreixi gairebé tots els vèrtexs. En un article posterior titulat «On the evolution of random graphs», i publicat el 1960 [27], Erd˝ os i Rényi van descobrir que un graf Aquest treball va aparèixer en anglès amb el títol «Random graphs: theory and applications from nature to society to the brain» a Internationale Mathematische Nachrichten, 227 (2014), 1-24, revista de la Societat Austríaca de Matemàtiques. Agraïm als editors d'aquesta revista el permís per a publicar-ne la traducció al català feta pels editors i revisada per Marc Noy.